Wie setze ich folgenden Term gleich Null? f ( x ) = ( x + 1/x ) / x

Question

Eine Super Simple Aufgabe, doch ich bin mir dennoch Unsicher:
Ich soll den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmen:

$$ f(x)=\frac { x+\frac { 1 }{ x }  }{ x }  $$

Ich habe den Nenner untersucht und bin zu dem Entschluss gekommen, dass eine Definitionslücke bei 0 existiert.

Um herauszufinden, ob es eine Polstelle oder eine Hebbare Lücke ist, muss man aber auch den Nenner untersuchen.

Wie bekomme ich da ein eindeutiges Ergebnis?

Liebe Grüße

Answer 1

\(\frac{x+1/x}{x}\)  = \(\frac{(x^2+1)/x}{x}\) =\(\frac{x^2+1}{x^2}\)    [gemäß Kommentar editiert]

Zähler ≠ 0 für x=0   →  Polstelle 

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, weil der Linearfaktor x im Nenner in gerader Potenz steht.

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang, du hast einen Fehler in der Ausgangsfunktion

Bei dir heißt es

( 1 + 1/x ) / x

In der Frage heißt es
( x +  1 / x ) / x

mfg Georg

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Danke Georg, habe es mit Hinweis auf den Kommentar korrigiert!

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Ah danke, auf solch eine Umformung wäre ich wohl nicht gekommen, danke Ihnen beiden!
Und hat einer von Ihnen vielleicht auch Ahnung davon, wie man das Bild von der Funktion  f: D → ℝ aufschreibt, oder soll ich dazu lieber eine neue Frage Stellen?

Answer 2

Du hast wahrscheinlich nicht den Originalfragetext eingestellt.

Deine Frage enthält sehr viele Fehler und Mißverständnismöglichkeiten.
Deshalb gehe ich den Text jetzt einmal durch

Wie setze ich folgenden Term gleich null ?

Dies bedeutet in der Mathematik :
An welcher Stelle ist die Funktion 0.

f ( x ) = ( x + 1/x ) / x

Die Funktion wird null wenn der Zähler 0 wird

x + 1 / x =  0
Keine Lösung

Ich soll den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmen.

Wird x = 0 haben wir eine Division durch 0. Insgesamt

lim x −> 0 [ ( x + 1/x ) / x ]
 ( 0 + 1/0 ) /  0 =
 ( 1 / 0 ) / 0  =
∞ / 0 =
∞

Also ist bei x = 0 eine Polstelle oder eine nicht hebbare Definitionslücke.

D = ℝ \ { 0 }

Comments

Danke für die Fachliche Korrektur, nächstes mal werde ich darauf besser Acht geben!

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblichweise das " du " verendet.

Danke für die Fachliche Korrektur, nächstes mal werde ich darauf besser Acht geben!

Hier kann jedermann seine Mathefragen stellen. Dazu ist das Forum ja da.

Und hat einer von Ihnen vielleicht auch Ahnung davon, wie man das Bild von
der Funktion  f: D → ℝ aufschreibt, oder soll ich dazu lieber eine neue Frage Stellen?

Mit Bild der Funktion meinst du sicher den Wertebereich.
Hier muß man die Extrempunkte und das Verhalten an den Rändern
und Definitionslücken berechnen.

Eine mögliche Umformung ist
( x + 1/x ) / x
1 + 1/x^2
lim x − > ∞ [ 1 + 1/x^2 ] = 1 + 1/∞ = 1
lim x − > -∞ [ 1 + 1/x^2 ] = 1 + 1/∞ = 1

An der Definitionslücken
lim x − > 0(-)  [ 1 + 1/x^2 ] = 1 + 1/0 = 1 + ∞ = ∞
lim x − > 0(+)  [ 1 + 1/x^2 ] = 1 + 1/0 = 1 + ∞ = ∞

1.Ableitung
f ´( x ) = -2/ x^3
-2 / x^3 = 0
keine Lösung.

W = [ 1 ; ∞ [

~plot~ ( x + 1/x ) / x ; [[ -5 | 5 | 0 | 7]]~plot~

Answer 3

f ( x ) = ( x + 1/x ) / x       | D = R\{0}

= x/x + (1/x)/x 

= 1 + 1/x^2   > 1     , wenn x≠0 also in ganz D. 

Daher hat f keine Nullstelle.