p,q-Formel mit K(x)=x³-8x²+40x+57

Question

Ich hab echt ein Problem mit p,q-Formel ...

Ich hab ein Ergebnis vom Lineare Gleichungssystem mit K(x)=x³-8x²+40x+57

Ich habe auch einige Aufgaben durchgearbeitet und es klappte immer gut und jetzt bin ich bei der Aufgabe: Bestimmen Sie das Betriebsoptimum näherungsweise geometrisch und mit dem GTR.

Ich habe Extrempunkt genommen mit k'(x)=2x - 8 - 57/x² 

Da muss ich dann Notwendige Bedingung mit k'(x)=0 ausrechnen. Das Ergebnis lautet x³-4x²-28,5 = 0 ..... und nun muss ich dann NEWTON-Verfahren rechnen und das Ergebnis lautet: 5,09702 ... Dann muss ich Polynomdivision rechnen und das Ergebnis lautet: x2 + 1,09702x + 5,59153 ... 

DANN muss ich eigentlich p,q-Formel rechnen, leider gibt es mein Taschenrechner ein "ERROR" ...

Hab ich was falsches gemacht? Eigentlich sollte es p=1,09702 ; q=-5,59153 sein ... :-(

Kann einer mir helfen? Ich hab diese Thema Hausaufgaben für morgen ...

Comments

x2 + 1,09702x + 5,59153 kann man natürlich nicht mit dem Taschenrechner ausrechnen, weil unter dem Wurzelzeichen dann eine negative Zahl stünde. 

Wenn Du allerdings für 

p = 1,09702 einsetzt und für

q = -5,59153

kommt heraus: 

-0,54851 ± 2,4274252244

Answer 1

2·x - 57/x^2 - 8 = 0
2·x^3 - 8·x^2 - 57 = 0

Ich komme auch auf x = 5.097015831

Wenn du damit jetzt unbedingt eine Polynomdivision machen willst

2·x^2 + 2.194031661·x + 11.18301411 = 0
x^2 + 1.097015830·x + 5.591507050 = 0

Das ist also bis hier völlig richtig. Wenn dein TR hier ein Fehler ausgibt, dann weil es hier keine weitern Nullstellen gibt. Zumindest nicht im Bereich von R.

Comments

Ich skizziere dir mal die Funktion k'(x)=2x - 8 - 57/x² 

Dann siehst du, dass es dort auch nur eine Nullstelle gibt.

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Also heißt das, dass p,q-Formel nicht möglich ist, weil es keine weitere Nullstellen gibt?

Und soll ich dann noch Funktionswert berechnen, damit ich das BO(x/y) Ergebnis habe?

Das heißt: k(5,10)= 5,10² - 8 * 5,10 + 40 + 57/5,10 = 36,39

Das Betriebsoptimum liegt bei BO(5,10/36,39)...

Stimmt so? ... 

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Von der Rechnung ja von der Definition nicht ganz.

Das Betriebsoptimum ist 5.10

Die langfristige Preisuntergrenze sind die Stückkosten im Betriebsoptimum und das sind 36.39

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Danke, mein Hausaufgaben war dann ganz richtig :-) ..

Answer 2

Deine Ableitung K ' ( x ) ist falsch.

Die Ableitung K ' ( x ) lautet richtig: K ' ( x ) = 3 x ² - 16 x + 40

Extrempunkte liegen höchstens dort vor, wo die erste Ableitung gleich Null ist, also:

K ' ( x ) = 0

<=> 3 x ² - 16 x + 40 = 0
<=> x ² - ( 16 /3 ) x + 40 / 3 = 0

Hier kannst du nun die pq-Formel anwenden mit p = - 16 / 3 und q = 40 / 3

Es ergibt sich:

x1,2 = - ( ( - 16 / 3 ) / 2 )  +/- √ ( ( ( - 16 / 3 ) / 2 ) ² - 40 / 3 )

= ( 16 / 6 ) +/- √ ( ( 256 / 36 ) - ( 480 / 36) )

= ( 8 / 3 ) +/- √ ( - 224 / 36 )

Der Term unter der Wurzel ist negativ, daher liefert die pq-Formel keine Lösung. Das aber bedeutet, dass die Funktion K ( x ) keine Extremstelle hat.

Wenn K ( x ) aber eine Extremstelle haben soll, dann hast du dich vermutlich bei der Lösung des linearen Gleichungssystems verrechnet.

Comments

Seine Ableitung ist schon richtig. Bei den Kostenfunktionen werden K(x) und k(x) unterschieden.

K(x) sind die Gesamtkosten und k(x) sind die Stückkosten.

K(x) = x^3 - 8·x^2 + 40·x + 57

k(x) = K(x) / x = x^2 - 8·x + 40 + 57/x

k'(x) = 2·x - 8 - 57/x^2

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Oh, sorry, das wusste ich nicht. Ich habe das kleingeschriebene K einfach für einen Tippfehler gehalten, bin aber auch kein Wirtschaftler.

Ein bisschen gewundert habe ich mich allerdings schon, ob der etwas merkwürdigen "Ableitung" ... aber dein Kommentar klärt ja nun alles auf.