wahrscheinlichtkeitsdichte funktion, erwartungswert

Question

An einer Haltestelle kommt pünktlich alle 20 Minuten eine S-Bahn. Eine Person geht, ohne auf die Uhr zu schauen, an die Haltestelle. Somit ist die Wartezeit T (in Minuten) eine Zufallsvariable.

(1)   Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f und die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariable         T.

(2)   Wie groß ist der Erwartungswert für T?

(3)   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person 5 bis 8 Minuten warten muss?

Answer 1

f(x) =  k für  0 < x < 20
       =   0    sonst                 denn die Wahrscheinlichkeit ist ja für jede Wartezeit gleich

Damit  das Integral von - ∞ bis + ∞ über diese Funktion gleich 1 ist  ( sonst wäre es keine Dichtefunktion.)

, muss  20*k = 1 gelten, also  k = 1/20 = 0,05

Dann ist die Verteilungsfunktion

=   0   für   x ≤ 0
F(x)           =   0,05x für  0 < x < 20
                   =    0  für  x ≥ 20

(2)   Wie groß ist der Erwartungswert für T?          10

(3)   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person 5 bis 8 Minuten warten muss?

P( 5 < x < 8 ) = F(8) - F(5) = 0,05*8 - 0,05*5 = 0,15 = 15%