Wie zeige ich, dass 2 bijektive Funktionen verknüpft auch bijetiv sind?

Question

Beweisen Sie folgende Aussage: Sind f und g bijektive
Funktionen, dann ist auch g ο  f bijektiv.

Answer 1

f: A -> B und g: X -> Y sind bijektiv.

Wir wollen zeigen, dass f o g: A -> Y ; (f o g)(x) = f(g(x)) injektiv und surjektiv, also bijektiv ist.

Sei f(g(x)) = f(g(y)) da aus f(...) = f(...) immer ... = ... folgt, ist also g(x) = g(y) und somit: x=y.

Für jedes y el. Y gibt es ein x mit g(x) = y. Versuche nun selber zu folgern, dass aus der Surjektivität von f und g auch die Surjektivität von g o f folgt. Wenn es fragen gibt, frag nach :-)

gruß...

Comments

Es soll wohl Y = A sein. Und f o g bildet dann von X nach B ab.

Hier kann man aber übrigens die Umkehrfunktion von f o g explizit angeben.

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Stimmt du hast recht, ich hatte statt g o f fälschlicherweise f o g geschrieben. Tut mir leid.

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Könntest du mir bei der Umkehrfunktion auf die Sprünge helfen?

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Die Umkehrung von g o f ist f^-1 o g^-1 .

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Aber das ist nicht explizit oder? Explizit ist doch (g o f)^{-1} = a?

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Also a el. IR

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Doch, es wurde explizit eine Umkehrfunktion angegeben; nicht nur deren Existenz bewiesen.

Und was soll a sein?
[Edit: Eine Abbildung kann nicht gleich einer Konstanten sein...]

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*heul* Ich meinte (g o f)^{-1} (x) = a, aber der Irrtum ist mir klar.