Wie kann ich Bild-Kern-Projektion bestimmen

Question

pr_u : V -> U

Bild(pr_u) = u

Kern(pr_u) = u^⊥ 

Ich soll beweisen, dass Bild(pru) = u und Kern(pur) u^⊥.

Für pr_u: V→U und eine Untermenge definiert man:

ker(pru) := {v∈V| pru(v) = 0} als Kern von f und

Im(pru) := {w∈W| ∃v∈V: f(v)=w} als Bild von U.

Aber, ker(pru) = {0}.. Wie kann ich beweisen, dass Bild(pru) = u

Kern(pru) = u^⊥

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis für Bild(pr_u) = u und Kern(pr_u) = u^⊥

Um zu zeigen, dass das Bild von \(pr_u\) gleich \(u\) ist und der Kern von \(pr_u\) gleich dem orthogonalen Komplement von \(u\) ist, betrachten wir die Definitionen und arbeiten mit den Eigenschaften von Projektionen in Vektorräumen. Es scheint, dass einige Informationen über \(pr_u\) und die genaue Natur von \(V\), \(U\), und \(W\) fehlen, aber ich werde eine allgemeine Erklärung basierend auf den üblichen Annahmen über lineare Abbildungen und Projektionen bereitstellen.

Bild von \(pr_u\) = u:

Zuerst, der Satz "Bild(\(pr_u\)) = u" ist möglicherweise nicht genau so gemeint, denn \(u\) sollte ein Element eines Vektorraums und nicht ein Unterraum oder ein Bild sein. Stattdessen interpretieren wir die Aussage so, dass das Bild von \(pr_u\) der Unterraum ist, der von \(u\) aufgespannt wird, falls \(u\) eine Basis von \(U\) ist, oder präziser, dass es im Falle von \(U\) ein eindimensionaler Raum ist.

- Das Bild von \(pr_u\) umfasst alle Vektoren, die auf \(u\) oder auf den von \(u\) aufgespannten Unterraum projiziert werden können.
- Wenn \(pr_u\) die Projektion von \(V\) auf \(U\) entlang irgendeines Komplements ist, dann ist jedes Element im Bild dieser Projektion vollständig in \(U\) enthalten. Das bedeutet, das Bild von \(pr_u\) ist \(U\) selbst, wenn \(u\) eine Basis von \(U\) ist oder präziser, der von \(u\) aufgespannte Unterraum.

Kern von \(pr_u\) = u^⊥:

- Der Kern von \(pr_u\) besteht aus allen Vektoren in \(V\), die zu \(0\) in \(U\) projiziert werden. Formal, \(\text{ker}(pr_u) = \{v \in V | pr_u(v) = 0\}\).
- Ein Vektor \(v\) wird genau dann zu \(0\) projiziert, wenn \(v\) orthogonal zu allen Vektoren in \(U\) ist, wegen der Definition der orthogonalen Projektion. Deshalb ist jeder Vektor im Kern von \(pr_u\) orthogonal zu \(u\) (und zu jedem Vektor in \(U\), falls \(U\) mehr als eindimensional ist), was bedeutet, dass \(\text{ker}(pr_u)\) gleich dem orthogonalen Komplement \(u^{\perp}\) ist.

Zusammenfassung:

Um zu beweisen, dass das Bild von \(pr_u\) gleich \(U\) (oder genauer, dem von \(u\) aufgespannten Unterraum) und der Kern von \(pr_u\) gleich \(u^{\perp}\) ist, muss man sich auf die Definitionen der Bild- und Kernprojektionen sowie auf die geometrische Interpretation von Projektionen in Vektorräumen stützen. Insbesondere ist der Kern die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Zielpunkt \(u\) (oder Unterraum \(U\)) sind, was das orthogonale Komplement \(u^{\perp}\) ergibt.