Berechnung und Approximation einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Question

X₁,...,X₆ seien unabhängige, identisch B(n = 1, p = 1/6) - verteilte Zufallsvariablen (Anm: Binomialverteilt). Bestimmen Sie (approximativ) ein minimales c aus |N₀ mit

$$  P(\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { X }_{ i } } \ge c)\quad \le \frac { 1 }{ 10 }  $$

und zwar

a) "exakt" über die Binomialverteilung

b) über die Approximation mittels der Poisson-Verteilung,

c) über die Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur,

d) über die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur.

Der Ausdruck der Zufallsvariablen durch die Summe macht mir etwas zu schaffen. Mein Ansatz war bisher für die a):

$$ P(\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { X }_{ i } } \ge c)\quad =\quad 1\quad -\quad P(\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { X }_{ i } } <c)\quad =\quad ... $$ wie geht es weiter?

Comments

E Grenze gegeben aber keine obere Grenze was setzte ich dann in die Formel schaue hier die formelHi zusammen kann mir jemand vielleicht bei Aufgabe 39 helfen ich kenne die Formel zur normalaaproximation jedoch ist hier in der Aufgabe c als unter

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Tut mir leid bin voll verrutscht mit der Zeile. Also es geht um die normalaaproximation hier würde ich ja in die Formel einsetzten ich hab jedoch nur c als untere Grenze und keine obere Grenze. In der Formel ist aber a die untere Grenze und es gibt eine obere Grenze namens b kann mir vielleicht jemand helfen

Answer 1

die \(X_i\) besitzen eine Bernoulli-Verteilung, da sie identisch verteilt sind besitzt ihre Summe, also die ZV \( Y = \sum \limits_{k=1}^6X_i\) ,eine Binomial-Verteilung und zwar \( Y \sim B(n=6, p=\frac{1}{6},k)\).

\(Y\) könnte (zur Vereinfachung der Vorstellung) also sowas sein wie die Anzahl der 6en beim 6-maligen Wurf eines Würfels.

Alles was dir jetzt bleibt (da es überschaubar ist), ist es eine Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten \(P(Y=k)\) mit \( 0\leq k\leq6\) aufzustellen um a) zu beantworten.

Den Rest kriegst du hin?

Gruß

Comments

Ist  1-520,8333 bei Y=1 richtig ?:/

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Und was soll das sein? ^^ Wenn du damit die WSK meinst, dass Y=1 ist, dann sicherlich nicht, immerhin wäre das eine negative Zahl....

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So? :/ verzweifle gerade

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Also das dann noch für Y=1,2,3,4,5,6

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Ja das passt, es reicht eigentlich gemäß der Aufgabenstellung rückwärts zu gehen sprich,

Y=6, Y=5, usw. solange bis die kumulierte WSK das erste mal 1/10 überschreitet. Ob du dabei viel Aufwand sparst ist aber eher fraglich ;). Geht natürlich auch umgekehrt übers Gegenereignis.