Warum müssen Vektor linear unabhängig sein um eine Basis zu bilden?

Question

Frage steht soweit oben.

Zwei linear abhängige Vektoren sind parallel zueinander, drei linear Abhängige sind parallel zu einer Ebene.

Um eine Basis zu bilden, ich rede jetzt vom ℝ³ , braucht man also Vektoren, die in verschiedene Richtung zeigen, was aus der Unabhängigkeit resultiert.

Ist das richtig so oder gibt es eine andere Erklärung?

LG

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Um eine Basis zu bilden, ich rede jetzt vom ℝ³ , braucht man also Vektoren, die in verschiedene Richtung zeigen

Die Vektoren (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) und (-1, 1, 0) zeigen auch alle in verschiedene Richtungen, oder?

Answer 1

  Warum hast du nicht in Wiki nachgesehen? Ich erteile dir hiermit folgende Strafarbeit: Den Beitrag in Wiki wirst du AUSWÄNDIG lernen.



       SATZ und DEFINITION

  ( also Beweis durch ringschluss )


   Ein System von Vektoren heißt Basis, wenn eine der vier äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:


   1) eindeutig                                Erzeugendes
   2) minimales                               Erzeugendes
   3)               linear unabhängiges Erzeugendes
   4) maximal linear Unabhängiges

  
    =============================================================


   Ach übrigens; ich sprach oben von einem VektorenSYSTEM . Auch wenn alle Bücher den Eindruck erwecken, ein System sei das Selbe wie eine Menge - das stimmt nicht. So ist etwa das System < a ; a > in jedem Falle  linear abhäng, weil a doppelt genannt ist. Doppelnennungen sind aber bei der Aufzählung der Elemente einer Menge grundsätzlich unzulässig.
  Viel mehr handelt es sich bei einem System aus r Vektoren um eine Abbildung oder Zuordnung der ===> Ordinalzahl r in einen ( geeigneten ) Vektorraum.

Comments

  Die Dimension ist definiert als Anzahl Vektoren in einer Basis.
  Woher kommt es denn, dass jede Basis die selbe -dimension hat = Dimension des Vektorraums ( Die Dimension ist eine Invariante. )
  Meines Wissens ist noch kein Anfänger auf dieses Problem gestoßen ===> Austauschsatz von Steinitz

   Du siehst; mein Assistent hatte schon Recht

  " Em Erstsemester derfste nix glaube; die könne noch net maa denke. Dene ihr Zeusch kannse voll in die Feif rauche ... "

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Kannst du es vll. nochmal so erklären, wie man es für den Schulgebrauch benötigt. Wieso müssen die ´Vektoren linear unabhängig sein?

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  Bitte denkr logisch. Der Begriff " Basis " muss ja erst mal irgendwie definiert werden. Nimm z.B. die obigen 4 Punkte; unter Punkt 4) habe ich: Maximal linear unabhängig. D.h. im ( normalen ) |R ³ können höchstens drei Vektoren unabhängig sein; 4 Vektoren sind es MIT SICHERHEIT nicht mehr.
  Verstehst du; wenn da steht, das ist die definierende Eigenschaft, dann kannst du nicht gut fragen, warum man das fordert. Auf der anderen Seite steht z.B. unter Punkt 2) " Minimales Erzeugendes " D.h. weniger wie drei Vektoren spannen den |R³ mit Sicherheit nicht mehr auf.
  Hier hätte es schon Sinn zu fragen warumj. Denn 2) und 4) sind ja äquivalent; du kannst also fragen: Wieso ist ein minimales Erzeugendes gleichzeitig maximal linear unabhängig?
   Bitte sieh doch Eins; und da hilft dir auch keine Spammarkierung weiter. Euer Lehrer betreibt so einen halb anschaulichen Wischiwaschi, wo er glaubt, den Begriff Basis nicht definieren zu müssen. Es ist aber durchaus nicht jedem klar; und ich wehre mich auch dagegen, dass du etwas geschenkt kriegst, bloß weil unser Raum drei dimensionen hat oder weil du ihn dir vorstellen kannst ( Im Übrigen fälllt räumliche Vorstellung Vielen schwer. )
   du forderst von mir quasi etwas, wozu euer Lehrer nie bereit wäre - das ist das Problem.

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  Ich will mixh mal ganz eng an deine Frage anlehnen.

  0) Der ===> Nullvektor ist IMMER linear abhängig.
  1) Ein Vektor ( der nicht der Nullvektor ist ) ist immer linear UNABHÄNGIG .
  2) Zwei Vektoren, die eine Ebene aufspannen ( die nicht kollinear sind ) sind unabhängig.
  3) Drei Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen ( die nicht komplanar sind ) sind unabhängig.
  4) Und vier Vektoren? Sind immer abhängig. Und 4 711 Vektoren? Auch immer abhängig.
  5) Und " unendlich viele " Vektoren? Auch immer abhängig.
  6) Und? Alle Vektoren des Raumes zusammen genommen? Auch abhängig.

   naa; habe ich dir zu viel versprochen? Ic sagte " maximal linear unabhängig " Mehr wie drei unabhängige Vektoren kann es nicht geben; und wenn du diese Höchstzahl beisammen hast, nennt man das eine Basis.
   Könnten wir uns darauf einigen?