Beweis, dass Basis eines Vektorraums linear unabhängig, falls ein weiterer Vektor hinzugefügt wird.

Question

Hey!

Angenommen ich habe eine Basis S vom Vektorraum V. Dann ist S linear unabhängig.

Ich soll zeigen, dass S linear abhängig wird, falls ich einen Vektor $$ v \in V \backslash S $$ zu S hinzufüge.

Mein Ansatz ist folgender:

Da S eine Basis von V ist, kann ich v als Linearkombination der Vektoren $$ s_{i} \in S $$ darstellen.

Liege ich richtig, dass daraus folgt, dass ein beliebiges $$ s_{i} \in S $$ existiert, sodass an Spalte j in $$ s_{i} $$ und in $$ v_{i} $$ der Eintrag $$ \neq 0 $$ ist? Dadurch ist die Basis ja nicht mehr linear abhängig, da ich den Nullvektor auch als nichttriviale Linearkombination darstellen kann.

Ich hoffe es ist verständlich was ich geschrieben habe, und danke im Voraus!

Answer 1

Sei \(S\) eine Basis von \(V\).

Sei \(v\in V\setminus S\).

Sei \(v = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_is_i\) eine Darstellung von \(v\) als Linearkombination von \(S\).

Dann ist \(v - \sum\limits_{i=0}^n \alpha_is_i\) eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors.

Also ist \(S\cup \{v\}\) linear abhängig.

sodass an Spalte j in \( s_{i} \)

Vektoren haben nicht unbedingt Spalten.

und in \( v_{i} \)

Was ist \(v_i\)?

Comments

Ich bin dabei von Zeilenvektoren ausgegangen, kann man ja genauso gut Spaltenvektoren nehmen. Das mit $$ v_{i} $$ habe, also $$ S \cup \{v\} $$ich falsch ausgedrückt, sorry. Ich meine damit den Vektor v den ich bei S hinzugefügt habe. Kann sein, dass ich hier einen riesen Denkfehler begehe, aber dadurch ist doch an Spalte/Zeile i in beliebigem Vektor $$s_{i}$$ und in $$ v$$ der Eintrag $$ \neq 0 $$