Summe geht bis unendlich vereinfachen. (3/4)^{2i} * (3/5)^{2i-1} umformen?

Question

ich rechne gerade alte Übungsaufgaben durch. Bin auf etwas gestossen, wo ich einen Teil einer gegeben Lösung nicht verstehe.
Es geht um :

Wie kommt man auf die Termumformung von oben nach unten? Hab versucht im Internet mich zu geometrischen Reihen zu belesen. Bin aber eher ratlos. 
Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich echt aus dem Häuschen ;)!

mfg

Answer 1

2/5 + 16/25 * Summe i=1 bis ∞ über (3/4)²ⁱ * (3/5)^2i-1 

= 2/5 + 16/25 * Summe i=1 bis ∞ über (3/4)²ⁱ * (3/5)²ⁱ * (3/5) ^-1 

den letzten Faktor aus der Summe ziehen, hängt ja nicht voon i ab

= 2/5 + 16/25* (3/5) ^-1  * Summe i=1 bis ∞ über (3/4)²ⁱ * (3/5)²ⁱ

= 2/5 + 16/25* (5/3)  * Summe i=1 bis ∞ über ((3/4)² * (3/5)²)ⁱ           

= 2/5 + 80/75 * Summe i=1 bis ∞ über ((9/16)* (9/25))ⁱ       

= 2/5 + 16/15 * Summe i=1 bis ∞ über (81/400)ⁱ       Indexshift

= 2/5 + 16/15 * (81/400) Summe i=0 bis ∞ über (81/400)ⁱ    

= 2/5 + 27/125 *   Summe i=0 bis ∞ über (81/400)ⁱ    

dann Formel für geo. Reihe.

 

Comments

Vielen

Nie im Leben wäre ich auf (3/4)²ⁱ * (3/5)²ⁱ == ((3/4)² * (3/5)²)ⁱ    !!

Für das Verständnis zu der Formel für geometrische Reihen. Wenn man den Term (81/400) nicht aus der Summe herauszieht, müsste man die geom. Reihe so berechnen:

Summe = (81/400) / (1 - ( 81 / 400) ) ?

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Ja, das gibt doch das gleiche Ergebnis.