Frage zu einem bestimmten Teil eines Beweises (Mächtigkeit, Potenzmenge):

Question

Hi,

in dem Beweis wird bewiesen, dass die Abb. t: A -> P(A) injektiv ist, sodass |A| ≤ |P(A)| gilt.

"Angenommen es gibt eine surjektive Abb. f: A -> P(A). Für jedes a Element A ist dann f(a) ⊆ A. Wir betrachten die Menge B = {a Element A | a ∉ f(a)} Element P(A). Weil f surjektiv ist, gibe es ein a Element A mit f(a) = B."

Ich verstehe nicht, wieso "B = {a Element A | a ∉ f(a)} Element P(A)" für den Beweis genommen wird, wieso also a nicht Element von f(a) sein soll. Wörtlich heißt das Ganze ja "B ist gleich der Elemente a aus A für die gilt a ist nicht Element f(a)". Jedoch ist doch f(a) Element von B? Das verwirrt mich ein wenig.

Der Beweis endet mit einer Fallunterscheidung, welche ich wieder verstehe. Es wäre super, wenn mir jemand den Sinn hinter "B = {a Element A | a ∉ f(a)} Element P(A)" erklären könnte :-)

LG

Comments

Der vollständige Beweis (Falls unklar sein sollte was ich meine):

Die Abb. f: A -> P(A), a -> {a} ist injektiv, sodass |A| ≤ |P(A)| gilt. Angenommen es gibt eine surjektive Abb. f: A -> P(A). Für jedes a Element A ist dann f(a) ⊆ A. Wir betrachten die Menge B = {a Element A | a ∉ f(a)} Element P(A). Weil f surjektiv ist, gibe es ein a Element A mit f(a) = B.

1. Fall: a Element B. Dann ist a Element A und a nicht Element f(a) = B. Widerspruch.
2. Fall: a nicht Element B. Dann ist a Element A und a nicht Element B = f(a), also doch a Element B. Widerspruch.

Da in beiden Fällen ein Widerspruch eintritt, muss die Annahme falsch sein.

Answer 1

Oft ergibt sich zum Schluß erst wieso in einem Beweis konkret eine bestimmte Wahl getroffen wird. Wenn du verstehst warum der Widerspruch am Ende entsteht dann ist die Antwort auf deine Frage: B wurde so gewählt damit man eben auf einen Widerspruch bzgl. der Surjektivitär kommt.

Damit ist gezeigt, dass eine Menge und ihre Potenzmenge nie gleichmächtig sein können. Ist A eine endliche Menge ist das ganze ja noch offensichtlich und greifbar. Interessant wird das ganze erst für unendliche Mengen wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen.

Gruß