Gleichungssysteme Ebene und Lagebeziehung

Question

Bitte kann mir wer helfen!!!!

ich hab drei ebenen und muss die lagebeziehung ausrechnen, weiß aber nicht wie!

ε1: X+2y+3z=1

ε2:3x-y-2z=4

ε3:4x+y =-4

das ist das erste!

und beim zweiten soll ich das selbe machen

ε1: x-y+z=5

ε2: 2x+2y-3z=4

ε3: 3x+y-2z=5

BITTE UNBEDINGT HELFEN!

Answer 1

die drei Ebenen sin in Koordinatenform gegeben. die Koeffizienten von x,y,z ergeben also jeweils die Koordinaten eines Normalenvektors. Diese NV - und damit auch die zugehörigen Ebenen sind jeweils paarweise nicht parallel, haben also paarweise jeweils eine Schnittgererade.

Die Lösungsmenge der beiden LGS berechnet man jeweils mit dem Gauß-Algorithmus.

1) 

das LGS hat die eindeutige Lösung    x = 18/7 ∧ y = - 100/7 ∧ z = 9

die Ebenen schneiden sich also in einem gemeinsamen Punkt

2)

Das LGS hat keine Lösung. Die Schnittgerade von je der zwei Ebenen ist also jeweils parallel zur dritten Ebene.

Gruß Wolfgang 

Answer 2

  Dein erstes Beispiel.

       

               x  +  2  y  +  3  z  =  1          (  1a  )

              3  x  -  y  -  2  z  =  4             (  1b  )

              4  x  +  y   =  -  4                   (  1c  )

     Oft musst du etwas " sehen " Es entspricht zwar nicht gängigen Algoritmen; aber setz mal zusammen

    ( 1a ) + ( 1b ) - ( 1c ) Dann nämlich heben sich x und y heraus; und du wirst direkt geführt auf z = 9 . Jetzt tust du dieses z einsetzen in ( 1b )

          3  x  -  y  =  22         (  2b  )

     Das Additionsverfahren ( 2b ) + ( 1c ) führt direkt auf x = 18/7

      Die Gleichungsnummer " b " behalte ich bei, damit ihr euch zu Recht findet. Jetzt ( 1c )

        72/7  +  y  =  (  -  4  )     (  2c  )

       y  =  -  4  (  1  +  18/7  )  =  (  -  100/7  )      (  2c '  )

   Drei linear unabhängige Ebenen schneiden sich in einer Ecke des Raumes.