Anwendungsprobleme zur Lagebeziehung Gerade - Ebene. Wand wird von einem Laser angestrahlt

Question

Aufgabe:

Die Wand eines Hochhauses wird während einer Show von einem Laser angestrahlt. Der Laserstrahl befindet sich im Punkt A(5|6|1) und strahlt in Richtung des Vektors v(Vektor)=(-1|-2|3).

Die Hauswand liegt in der Ebene

E:x= (1|0|0)+s•(-1|6|0)+t•(0|0|20).

An welcher Stelle trifft der Laserstrahl auf die Ebene, in der die Hauswand liegt.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe mit Lösung erklären würde. Mein Ansatz wäre, dass ich erstmal eine Geradengleichung mit A als Stützvektor und AV als Richtungsvektor aufstellen würde. Aber falls das richtig ist, wie geht es dann weiter? Bin leider gerade etwas planlos.

PS:  Die Überschrift des AB ist ja auch Anwendungsprobleme. Kann mir vielleicht jmd. erklären, wieso da Probleme steht? Oder ergibt sich das aus der Aufgabe?

Answer 1

Dann setzt du die Gerade in die Ebene ein (im optimalen Fall wandelst du die Ebene zuerst in Koordinatenform um). Dann erhältst du einen Parameterwert, den du für den Parameter des RV der Geraden einsetzt. Der Vektor, den du dort berechnest, ist der Punkt, welchen Ebene und Gerade gemeinsam haben.

Es heißt Anwendungsprobleme, weil sich bei (praktischen) Anwendungen (also z.B. Problemen aus der echten Welt) u.a. Konstruktionsfragen (=Probleme) ergeben. Hier ist das Problem, dass du den Schnittpunkt brauchst. Die Lösung ist, ihn zu berechnen.

Answer 2

Grundsätzlich können wir die Gleichung für die Ebene gleichsetzen mit der Geradengleichung

\(r \; \left(-1, 6, 0 \right) + s \; \left(0, 0, 1 \right) + \left(1, 0, 0 \right) - (A + t \; v ) =0\)

und erhalten ein GLS

\(\left(-r + t - 4, 6 \; r + 2 \; t - 6, s - 3 \; t - 1 \right)\)

Aus der ersten bestimmen wir r=

und setzen in die zweite ein und erhalten t

t=15/4

H:=g(15/4)

der Punkt an dem der Laser die Hauswand trifft.