Beispiel zu einer Potenzmenge (Lineare Ordnung):

Question

ich habe hier folgendes Beispiel: "Wir betrachten die Teilmenge X der Potenzmenge von M = {1,2,3}. X = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}}, die aus allen ein- und zweielementigen Teilmengen von M besteht. Die Menge X ist mit der Inklusion ⊆ nicht linear geordnet. Es gibt weder ein größtes noch ein kleinstes Element".

Warum gibt es in X weder ein größtes noch ein kleinstes Element? Das verwirrt mich ein wenig. Die Elemente in X sind ja Mengen. Warum kann also {1} nicht das kleinste, und {2,3} das größte Element sein? Und vor allem, warum ist die leere Menge nicht ein Element in der Menge X?

LG

Answer 1

Warum gibt es in X weder ein größtes noch ein kleinstes Element?

weil einige nicht vergleichbar sind, es ist weder

{1;2} ⊂ {1;3} noch umgekehrt.

Das verwirrt mich ein wenig. Die Elemente in X sind ja Mengen. Warum kann also {1} nicht das kleinste,

dann müsste für alle  M  gelten {1} ist Teilmenge von   M.

und {2,3} das größte Element sein?     ( s.o. )

Und vor allem, warum ist die leere Menge nicht ein Element in der Menge X?

weil nur die 1 und 2-elementigen betrachtet werden ( s. Aufgabe)