Das kommt hier zum 4 711. Mal. Auch du sollst vom Stande der Unwissenheit erlöst werden. Ihr helft euch auch nicht gegenseitig. Ich bin ja ===> Lyc osianer der ersten Stunde; das kam gleich 2005, wie dieses Portal anfing.
wir machen das hier mit dem Verfahren des giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Wir notieren die Hauptbedingung so wie sämtliche Nebenbedingungen:
F ( x , y ; r ) := x y + 1/2 Pi r ² = max ( 1a )
U ( x , y ; r ) := x + 2 y + Pi r = 10 = const ( 1b )
Gerade wenn es jemand unternehmen sollte, ein solches Werkzeug zu verfassen. Schwer vorstellbar, wie das ohne Lagrange gehen sollte; du müsstest dem doch die ganzen Nebenbedingungen Mund gerecht vorkauen.
Wenn du ein ganz ein aufmerksamer Leser bist - aber nur dann - wird dir auffallen, dass r doch nicht unabhängig von x zu denken ist: x = 2 r . Gut; du bist noch jung und unternehmungslustig. Du kannst ja mal bissele experimentieren, was passiert, wenn du r eliminierst und sich die Variable x mit der ihr wesensfremden transzendentalen Größe Pi schleppt. Demnach lasse ich Pilze zu egal, ob über kragende oder gedrungene. Den ===> Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Demnach haben wir die Linearkombination zu bilden
H ( x , y ; r ) := F ( x , y ; r ) - k U ( x , y ; r ) ( 2 )
Notwendig für Extremum: Der Gradient von H muss verschwinden.
H_x = y - k = 0 ( 3a )
k = y ( 3b )
H_y = x - 2 k = 0 ( 3c )
x = 2 y ( 3d )
Nach ( 3d ) kommst du, indem du k aus ( 3b ) einsetzt in ( 3c ) Und ( 3d ) ist die allgemeine Lösung.
Was ist jetzt mit diesem r ?
H_r = Pi ( r - k ) = 0 ( 4a )
r = y | * 2 ( 4b )
2 r = x ( 4c )
In ( 4b ) wurde wieder ( 3b ) eingesetzt; die Umformung von ( 4b ) habe ich wie üblich vermerkt unter ausnutzung von ( 3d )
Wir brauchen uns gar nicht bemühen; das Verfahren findet bereits die natürliche Nebenbedingung. Ich hatte auch schon Olympiastadien mit zwei aufgesetzten Halbkreisen oder Dreieck und Halbkreis. Der Trick funktioniert jedesmal, obwohl z.B. ein Dreieck darfst du nicht analog abseparieren.