Extremwertaufgaben kontrollieren. f(a) = 5a - 0.75a^2

Question

Abend,

gibt es tools mit denen es möglich ist Extremwertaufgaben zu kontrollieren?

Z.b. ein Rechteck mit einem aufgesetzten Halbkrekeis. (Gewölbegang)

Umfang = 10m

Es soll die maximale Fläche berechnet werden.

Meine umgestellte Funktion:

Ergebnis:

a= 1,06m (Länge)

b= 3,11m (Höhe)

r= 0,56 (Radius)

Währe das richtig?

Liebe Grüße

André

Comments

Du fragst nach einem Tool.

 https://www.wolframalpha.com/input/?i=+5a+-+0.75a%5E2+

gibt ein global max. bei a=10/3 an.

Vielleicht hast du ja noch ein π vergessen (?)

Answer 1

U = pi·r + 2·h + 2·r --> h = (U - r·(pi + 2))/2

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·(U - r·(pi + 2))/2 = r·U - r^2·(pi + 4)/2

A' = U - r·(pi + 4) = 0 --> r = U / (pi + 4)

Damit jetzt h ausrechnen

h = (U - r·(pi + 2))/2

h = (U - U / (pi + 4)·(pi + 2))/2 = U / (pi + 4)

Damit ist die Höhe extakt so groß wie der Radius. Wenn also die ganze Figur durch ein Rechteck umschrieben werden soll ist dieses Rechteck ein Quadrat. Na wenn das mal nichts besonderes ist.

Comments

Frage:

Wieso hast du die Höhe gewählt? Ich habe ja die Breite gewählt.
Wie erkenne ich welche Variable die "Beste" ist?

---

Weil ich den Umfang

U = pi·r + 2·h + 2·r

besser nach h als nach r auflösen kann.

Answer 2

  Das kommt hier zum 4 711. Mal. Auch du sollst vom Stande der Unwissenheit erlöst werden. Ihr helft euch auch nicht gegenseitig.  Ich bin ja ===> Lyc osianer der ersten Stunde; das kam gleich 2005, wie dieses Portal anfing.
   wir machen das hier mit dem Verfahren des giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino. Wir notieren die Hauptbedingung so wie sämtliche Nebenbedingungen:




     F  (  x  ,  y  ;  r  )  :=  x  y  +  1/2  Pi  r  ²  =  max   (  1a  )

     U  (  x  ,  y  ;  r  )  :=  x  +  2  y  +  Pi  r  =  10  =  const      (  1b  )

     Gerade wenn es jemand unternehmen sollte, ein solches Werkzeug zu verfassen. Schwer vorstellbar, wie das ohne Lagrange gehen sollte; du müsstest dem doch die ganzen Nebenbedingungen Mund gerecht vorkauen.

   Wenn du ein ganz ein aufmerksamer Leser bist - aber nur dann - wird dir auffallen, dass r doch nicht unabhängig von x zu denken ist: x = 2 r . Gut; du bist noch jung und unternehmungslustig. Du kannst ja mal bissele experimentieren, was passiert, wenn du  r eliminierst und sich die Variable x mit der ihr wesensfremden transzendentalen Größe Pi schleppt.   Demnach lasse ich Pilze zu egal, ob über kragende oder gedrungene. Den ===> Lagrangeparameter von ( 1b ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Demnach haben wir die Linearkombination zu bilden

       H  (  x  ,  y  ;  r  )  :=  F  (  x  ,  y  ;  r  )  -  k   U  (  x  ,  y  ;  r  )       (  2  )

    Notwendig für Extremum: Der Gradient von H muss verschwinden.

           H_x  =  y  -  k  =  0       (  3a  )

                      k  =  y       (  3b  )

          H_y  =  x  -  2  k  =  0     (  3c  )

                      x  =  2  y      (  3d  )

    Nach ( 3d ) kommst du, indem du k aus ( 3b ) einsetzt in ( 3c )  Und ( 3d ) ist die allgemeine Lösung.

   Was ist jetzt mit diesem r ?

     H_r  =  Pi  (  r  -  k  )  =  0     (  4a  )

                        r  =  y   |  *  2      (  4b  )

                   2  r  =  x      (  4c  )

    In ( 4b ) wurde wieder ( 3b ) eingesetzt; die Umformung von ( 4b ) habe ich wie üblich vermerkt unter ausnutzung von ( 3d )

    Wir brauchen uns gar nicht bemühen; das Verfahren findet bereits die natürliche Nebenbedingung. Ich hatte auch schon Olympiastadien mit zwei aufgesetzten Halbkreisen oder Dreieck und Halbkreis. Der Trick funktioniert jedesmal, obwohl z.B. ein Dreieck darfst du nicht analog abseparieren.

Comments

  Da ich den Mathecouch nicht kommentieren darf, tue ich es hier. Seit Wann gibt das ein Quadrat, wenn Höhe und Radius gleich sind? Das wäre es nur, wenn Höhe und Durchmesser gleich wären. Siehe mein ( 3d ) ; sieht das etwa nach einem Quadrat aus !!! ???
  Hier ich lobe eine Preisaufgabe aus. Es gibt so Aufgaben; die lassen sich durch Symmetrien lösen. Etwa den Zaun, dessen Rechteckfläche durch eine Mauer geschlossen wird.
   Oder das Häuschen an der Bushaltestelle, das du mit verspiegelten Wänden zum quader schließen kannst. Wer nicht schnallt, wovon ich hier rede, möge sich melden.
   Gibt es auch eine Symmetrie, mit der man diesen Tunnel lösen kann?