Historisches Stadttor Exponentialfunktionen

Question

Für eine Theateraufführung wird ein historisches Stadttor aus Sperrholzplatten benötigt. Der Regisseur hat den Wunsch, dass die Türöffnung in der Mitte ca. 2m hoch und unten 2m breit ist. Die Randkurve des Torbogens soll modelliert werden durch die Funktion f(x)=2.4−0.2(e2,5x+e−2,5x). 
Werden die Vorgaben des Regisseurs in etwa eingehalten? 
In welchem Winkel muss die Saege beim Ausschneiden des Torbogens angesetzt werden? 
Der Aufbau wird nach dem Ausschneiden des Tors gestrichen. Wie groß ist die zu streichende Fläche? 

Answer 1

f(x) = - 0.2·e^{2.5·x} - 0.2·e^{- 2.5·x} + 2.4

f'(x) = 0.5·e^{- 2.5·x} - 0.5·e^{2.5·x}

F(x) = - 0.08·e^{2.5·x} + 0.08·e^{- 2.5·x} + 2.4·x

Werden die Vorgaben des Regisseurs in etwa eingehalten?  

2.4 - 0.2·(EXP(2.5·x) + EXP(- 2.5·x)) = 0 --> x = 0.9911554920 ≈ 1

Ja. Siehe Skizze.

In welchem Winkel muss die Saege beim Ausschneiden des Torbogens angesetzt werden?

ARCTAN(f'(1)) = ARCTAN(-5.917) = -80.41°

Der Aufbau wird nach dem Ausschneiden des Tors gestrichen. Wie groß ist die zu streichende Fläche?

2·(F(0.9912) - F(0)) = 2·(1.432 - 0) = 2.864 m²

Siehe Skizze:

Comments

Wie bist du denn auf den Winkel gekommen? Ist es möglich das du hier nochmal den Weg reinschreibst? Danke ;-)

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Er verwendet die steigung an der stelle 1. Dafür setzt er 1 in die erste Ableitung f' ein. Wenn du dir ein steigungsdreieck aufmalst, erkennst du dass für die Steigung m gilt

m=Δy/Δx=tan(α)

Alpha ist der gesuchte Winkel. Wenn wir jetzt für m die erste Ableitung an der stelle 1 einsetzen bekommen wir.

f'(1)=tan(α)

Nach Alpha aufgelöst ergibt sich

α=arctan(f'(1))