Beweisaufgabe bezüglich Eigenvektoren

Question

Gegeben sei ein Eigenvektor a zum Eigenwert ε einer Matrix A . Begründen Sie jeweils Ihre Antwort

a) Ist a auch ein Eigenvektor zu A² ?? zu Welchem Eigenwert?

Ich habe rausgefunden durch probieren mit Matrizen das a auch eigenvektor von A²  ist zum Eigenwert ε² .

Doch wie begründe ich es??

b) Wenn A Invertierbar ist , ist dann a auch ein Eigenvektor zu A^-1 ? Zu Welchem Eigenwert?

Comments

Gegeben ist ein  Eigenvektor  v  zum Eigenwert ε einer Matrix A . Begründen Sie jeweils Ihre Antwort

a) Ist v auch ein Eigenvektor zu A² ?? zu Welchem Eigenwert?

Kann es sein das v auch Eigenvektor von   A²   ist und  zum Eigenwert ε² .

Doch Wie begründet man es??

b) Wenn A Invertierbar ist , ist dann a auch ein Eigenvektor zu A^-1 ? Zu Welchem Eigenwert?

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kann jemand bitte helfen?

Answer 1

Wenn v ein Eigenvektor von M zum Eigenwert k ist gilt:
M * v = k * v
M * M * v = M * k * v
M * M * v = k * M * v

M^2 * v = k * k * v

M^2 * v = k^2 * v

v ist also auch ein Eigenvektor von M mit dem Eigenwert k^2.
Schreibe dir über die v's ein Vektorpfeil. Ich kann die hier nicht machen.

Comments

Und bei der b?

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Gehe wieder vom Ansatz aus

M * v = k * v

Multipliziere das Ganze mit M^{-1} von links und forme um...

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danke ich verstehe alles bis auf diesen schritt

M * M * v = k * M * v 

M² * v = k * k * v 

wie kommt man da drauf , warum ist eigenwert mal eigenwert die Matrix=?

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für M * v darf ich doch auf der rechten Seite auch k * v einsetzen. Das war doch der Ansatz für den Eigenwert.

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Alles klar danke.zu der b
M * v = k*vM^-1  * M * v = k * v * M^-1E * v = k * v * M^-1weiter komme ich  leider nicht.Kannst du da noch helfen?

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M * v = k * v

M^{-1} * M * v = M^{-1} * k * v

v = M^{-1} * k * v

1/k * v = M^{-1} * v

M^{-1} * v = 1/k * v

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Und bitte beachte das das Vertauschungsgesetz bei Matrizen nicht immer gegeben ist. Es ist also nicht egal ob man M^{-1} von links oder von rechts multipliziert.