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Gegeben sei ein Eigenvektor a zum Eigenwert ε einer Matrix A . Begründen Sie jeweils Ihre Antwort

a) Ist a auch ein Eigenvektor zu A2 ?? zu Welchem Eigenwert?

Ich habe rausgefunden durch probieren mit Matrizen das a auch eigenvektor von A2  ist zum Eigenwert ε2 .

Doch wie begründe ich es??


b) Wenn A Invertierbar ist , ist dann a auch ein Eigenvektor zu A-1 ? Zu Welchem Eigenwert?

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Gegeben ist ein  Eigenvektor  v  zum Eigenwert ε einer Matrix A . Begründen Sie jeweils Ihre Antwort

a) Ist v auch ein Eigenvektor zu A?? zu Welchem Eigenwert?

Kann es sein das v auch Eigenvektor von   A2   ist und  zum Eigenwert ε2 .

Doch Wie begründet man es??


b) Wenn A Invertierbar ist , ist dann a auch ein Eigenvektor zu A-1 ? Zu Welchem Eigenwert?

kann jemand bitte helfen?

1 Antwort

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Wenn v ein Eigenvektor von M zum Eigenwert k ist gilt:
M * v = k * v
M * M * v = M * k * v
M * M * v = k * M * v

M^2 * v = k * k * v

M^2 * v = k^2 * v

v ist also auch ein Eigenvektor von M mit dem Eigenwert k^2.
Schreibe dir über die v's ein Vektorpfeil. Ich kann die hier nicht machen.
Avatar von 487 k 🚀
Und bei der b?

Gehe wieder vom Ansatz aus

M * v = k * v

Multipliziere das Ganze mit M^{-1} von links und forme um...

danke ich verstehe alles bis auf diesen schritt

M * M * v = k * M * v 

M2 * v = k * k * v 

wie kommt man da drauf , warum ist eigenwert mal eigenwert die Matrix=?

für M * v darf ich doch auf der rechten Seite auch k * v einsetzen. Das war doch der Ansatz für den Eigenwert.

Alles klar danke.zu der b
M * v = k*vM-1  * M * v = k * v * M-1E * v = k * v * M-1weiter komme ich  leider nicht.Kannst du da noch helfen?

M * v = k * v

M^{-1} * M * v = M^{-1} * k * v

v = M^{-1} * k * v

1/k * v = M^{-1} * v

M^{-1} * v = 1/k * v

Und bitte beachte das das Vertauschungsgesetz bei Matrizen nicht immer gegeben ist. Es ist also nicht egal ob man M^{-1} von links oder von rechts multipliziert.

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