Normaler Weise rechne ich sowas immer mit dem ===> Lagrangeverfahren. Bei dieser Zylinderaufgabe hat sich jedoch gezeigt, dass das mit dem zu Lagrange dualen Verfahren besser läuft: ===> implizitem Differenzieren ( ID ) Im Gegentum zu Lagrange bietet ID den Vorteil, dass Schüler dieses Verfahren aus dem Stand ohne Vorbereitung beherrschen. Haupt-und Nebenbedingung
F ( r ; h ) := r ² + 2 r h = min ( 1a )
V ( r ; h ) := r ² h = 500 / Pi = const ( 1b )
( 1a ) tust du ganz normal nach r ableiten und die Ableitung Null setzen. Du musst allerdings über die Kettenregel berücksichtigen, dass h = h ( r ) eine Funktion von r ist wegen ( 1b ) Dies wird wie gesagt nur implizit berücksichtigt; es wird nicht nach h umgestellt.
F ' = 2 r + 2 h + 2 r h ' = 0 ( 2a )
r + h + r h ' = 0 ( 2b )
Wenn eine Funktion konstant ist so wie in ( 1b ) , muss ihre Ableitung natürlich verschwinden. Wir wiederholen das ID .
V ' = 2 r h + r ² h ' = 0 ( 3a )
2 h + r h ' = 0 ( 3b )
Der Term r h ' , der uns an sich ja gar nicht intressiert, ist gleich in ( 2b;3b ) Gleichsetzungsverfahren
2 h = r + h ===> h = r ( 4 )
Manöverkritik.
1) Ich weiß zufällig, dass bei dem Zylinder mit Boden und Deckel raus kommt
" Genau so dick wie hoch ; Höhe = Durczhmesser "
Die beiden Extremwertprobleme sind äquivalent; stell dir vor, du befestigst an dem oben offenen Zylinder einen Spiegel. Zusammen mit dem Spiegelbild ergibt das einen Zylinder von doppeltem Inhalt und doppelter Oberfläche; seine ( doppelt so große ) Höhe wäre also gleich dem Durchmesser. Somit ist unser Ergebnis richtig.
2) Ein Wermutstropfen: Wir konnten nur deshalb so geschickt umformen, weil wir r als die unabhängige und h als die abhängige Veränderliche betrachteten.
3) Diese meine Antwort ist geeignet, das Lagrangeverfahren " an höheren Lehranstalten " zu motiovieren - wäre jetzt eure aufgabe. Denn in ( 1ab ) wurde darauf gesetzt, dass beide Höhenlinien die selbe TANGENTE haben. Dann haben sie aber auch die selbe Normale.
