Polynomdivision/Nullstelle durch hinschauen bestimmen. f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Question

bestimmt wurde diese Frage, wie man Nullstellen einer Funktion dritten Grades bestimmt, sehr oft gefragt.

Nur verstehe ich nicht, wie man eine Zahl durch hinschauen bestimmen kann.

Bei vielen Funktionen funktioniert (x-1); hier leider nicht.

Wäre super, wenn jemand mir helfen könnte :-)

x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Answer 1

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 12·x - 8

Als ganzzahlige Nullstellen können nur Teiler von 8 sowohl im negativen als auch im positiven Bereich auftreten. Du kannst also eine kleine Wertetabelle machen.

[-8, -1000;
-4, -216;
-2, -64;
-1, -27;
1, -1;
2, 0;
4, 8;
8, 216]

Wir sehen die einzige Nullstelle bei x = 2

(x^3 - 6·x^2 + 12·x - 8) / (x - 2) = x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)^2

Das heißt wir haben hier sogar eine Dreifache Nullstelle bei x = 2.

Answer 2

Du betrachtest die 8. Diese hat die "Teiler" ±1 ;±2 ;±4 ;±8

Die meisten Aufgaben sind so konzipiert, das Du nicht lange "Suchen" brauchst.

Oft sind ± 1 oder ± 2 die Lösungen, in unserem Fall ist es 2 .

Comments

vielen Dank für die Antwort ! :-)  hab das bei einigen Aufgaben ausprobiert und ja 1 und 2 ist es meistens :D

Answer 3

Entweder
- raten und probieren
oder
- eine Wertetabelle erstellen bis eine Nullstelle gefunden wird
( siehe die Antwort vom Mathecoach )
oder
die Funktion in einen Funktionsplotter  eingeben und zeichnen lassen.

Answer 4

Manchmal helfen binomische Formeln:$$ x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = \\\,\\x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (-2) + 3 \cdot x \cdot (-2)^2 + (-2)^3 \\\,\\(x-2)^3.$$