Question

Lösen Sie Die Gleichung:

-1/5*e^x-1+10*e^{-x}=0

Wie Lösen ich diese Aufgabe?

Wen ich den natürlichen Logarithmus anwende bekomme ich x und –x was sich aufhebt.

Mir fällt nur noch das substituieren ein nur damit komme ich nicht weiter.

Comments

-1 / 5 * e^x - 1 + 10 * e^-x = 0

Answer 1

Wen ich den natürlichen Logarithmus anwende bekomme ich x und –x was sich aufhebt.

Das ist völliger Quatsch, was hast du gemacht?

PS: Mein Tipp: Multipliziere die Gleichung mit \(-5\text{e}^x\) und du erhältst eine quadratische Gleichung in \(\text{e}^x\).

Answer 2

-1 / 5 * e^x - 1 + 10 * e^-x = 0

-1 / 5 * e^x - 1 + 10 / e^x = 0

Substituiere mal z = e^x

-1 / 5 * z - 1 + 10 / z = 0

Mit z multiplizieren

-1 / 5 * z^2 - 1 * z + 10 = 0

Nun eine Idee wie man die quadratische Gleichung lösen kann? Ja. Dann machen. 

Und am Ende x = ln z berechnen.

Answer 3

-1/5 • e^x - 1 + 10 • e^-x = 0  | • e^x 

- 1/5 • (e^x)² - e^x + 10 = 0  | • (-5)

(e^x)² + 5 • e^x - 50  = 0

Setze z = e^x :

z² + 5z - 50 = 0

pq-Formel:  p = 5 ; q = - 50

 z_1,2 = - p/2 ± √[ (p/2)² - q ]

 z₁ = 5   oder   z₂ = -10

e^x = 5  oder e^x = -10 (entfällt, da e-Term positiv) 

x = ln(5) ≈ 1,6094

Gruß Wolfgang