differenzierbarkeit von Arcsin in (-1;1)

Question

ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter.Ich weiß, dass Arcsin die umkehrfunktion von sin ist. Jedoch weiß ich nicht wie ich hier vorgehen muss 

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https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Du kannst auch einfach die Identitaet \(x\equiv\sin(\arcsin x)\) ableiten. Kettenregel!

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muss ich die Zahlen (-1;1) einsetzen? Blöde frage ich weiß,aber differenzieren sagt mir irgendwie nichts

Answer 1

"differenzieren" heißt "Ableitung bilden".

Dass deine Funktion differenzierbar ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

und wie die Ableitung aussieht, bekommst du aus

der Ableitung nach y auf beiden Seiten der Gleichung

y = sin( arcsin(y)) das gibt  mit Kettenregel.

1 = cos( arcsin(y)) * arcsin(y) '

und aus cos ( arcsin (y) )  = x  folgt

               arcsin(y) = cos(x) = wurzel (  1 - sin^2(x) )    #

wegen cos^2(x) + sin^2(x) = 1

also hast du

1 = cos( arcsin(y)) * arcsin(y) '  und  # einsetzen gibt

1 /  ( wurzel (  1 - sin^2(x) ) ) = arcsin ' (y)

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Vielen lieben Dank für deine Hilfe :)