"differenzieren" heißt "Ableitung bilden".
Dass deine Funktion differenzierbar ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
und wie die Ableitung aussieht, bekommst du aus
der Ableitung nach y auf beiden Seiten der Gleichung
y = sin( arcsin(y)) das gibt mit Kettenregel.
1 = cos( arcsin(y)) * arcsin(y) '
und aus cos ( arcsin (y) ) = x folgt
arcsin(y) = cos(x) = wurzel ( 1 - sin^2(x) ) #
wegen cos^2(x) + sin^2(x) = 1
also hast du
1 = cos( arcsin(y)) * arcsin(y) ' und # einsetzen gibt
1 / ( wurzel ( 1 - sin^2(x) ) ) = arcsin ' (y)