Beweisen mit Brüchen.

Question

Zu beweisen ist:

a/b≤c/d⇔a*d²≤c*d*b² für alle a,b,c,d∈ℕ

dabei muss ich ja einmal unterscheiden das a=b eintreten kann und a<b

Def.: < gilt, wenn mind. ein n∈ℕο mit a+n=b existiert

        ≤ gilt, wenn mind. ein n∈ℕ mit a+n=b existiert.

Ich würde erstmal notieren:

(1) zu zeigen: a/b=c/d ⇔a*d²=c*d*b²

(2) zu zeigen: und dann eben mit "<"

Wie kann ich dann (1) Schritt für Schritt zeigen??? Hilfe :0

Liebe Grüße und herzlichen Dank.

Comments

Du meinst mit ℕ0 eigentlich ℕ\{0} oder?

ℕ\{0} sind die natürlichen Zahlen ohne die Null.

ℕ₀ sind die natürlichen Zahlen mit der Null.

---

Ohh ja ich habe es vertauscht < - ohne Null und ≤ mit Null :)

---

Immer wieder lustig.

Aber die - offenbar falsch eingegebene  - ursprünglich angegebene Behauptung ist auch wahr (vgl. Antwort 2)

---

Hehe cool vielleicht werde ich doch nochmal Mathematikerin xD

Answer 1

a/b=c/d     | d^2 denn offenbar ist d nicht 0

a*d^2 / b  =  c*d    |  *b^2    ebenso nicht 0

a*d^2 * b  =  c*d * b^2  

 ⇔a*b*d²=c*d*b²     Druckfehler ???

Comments

Jaaaa ist es ..was ist nur los mit mir..

also nochmal..

zu zeigen (1) a/b=c/d⇔a*b*d²=c*d*b²

(2) a/b<c/d⇔a*b*d²=c*d*b²

---

Du musst gar keine Unterscheidung machen.

Einfach jeweils mit b² und d² multiplizieren und dann hast Du alles. Wolfgang und ich haben Antworten gepostet, die nur leicht komplizierter sind, da wir den "Abschreibfehler" mitbewiesen haben.

---

Ja blöder Tippfehler.. ist nun schwer für mich nachzuvollziehen. Leider steht explizit in der Aufgabe das eine Fallunterscheidung wichtig ist, da wir bisher nur mit < gearbeitet haben ...??!!

---

Ok, dann einfach für beide Fälle die gleiche Rechnung machen :-)

Answer 2

a,b,c,d∈ℕ   ich gehe von ℕ = {1,2,3...} aus, sonst muss man b,c ≠0 voraussetzen

a/b ≤ c /d           | •b | •d

⇔ a • d ≤ c • b   | •d

⇔ a • d² ≤ c • d • b 

Multipliziert man jetzt die rechte Seite mit b≥1, bleibt  das  ≤Zeichen erhalten:

⇔ a • d² ≤ c • d • b²      für alle a,b,c,d∈ℕ

Gruß Wolfgang

Comments

Tut mir leid Wolfgang mir ist ein Fehler unterlaufen :/  es muss a* b* d² ≤ c*d* b² folgen. Die Zeile wo du auf der rechten Seite multiplizierst verstehe ich leider nicht

---

wenn man die rechte Seite mit b≥1 multipliziert und die linke Seite unverändert lässt, bleibt die linke Seite in jedem Fall ≤ der linken Seite, weil die rechte Seite bei dieser Multiplikation nicht kleiner werden kann als vorher.

Answer 3

zu beweisen ist

$$ \frac{a}{b}\leq \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d^2 \leq c \cdot d \cdot b^2 \quad \forall a,b,c,d \in \mathbb{N} $$

Beweis

$$ \begin{aligned}\frac{a}{b} &\leq& \frac{c}{d} &\qquad& \vert \cdot d^2 \vert \cdot b \quad \text{Keine Fallunterscheidung da} \quad b > 0 \\ \\a \cdot d^2 &\leq& c \cdot d \cdot b  \\ \\c \cdot d \cdot b &\leq& c \cdot d \cdot b^2 &\qquad& \text{da} \quad b\geq 1  \\ \\\Rightarrow a \cdot d^2 &\leq& c  \cdot d \cdot b^2 &\qquad& q.e.d. \end{aligned} $$

Gruß