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Wenn man davon ausgeht, dass f: ℝ → ℝ eine differenzierbare Funktion ist, wie zeigt man:

1.) Ist f eine gerade Funktion, so ist f ' ungerade

2.) Ist f eine ungerade Funktion, so ist f ' gerade.


Ansatz:

1.) f gerade und g ungerade, h = f o g. Wenn nun h gerade sein soll, dann ist zu zeigen h(-x) = h(x).

Der Beweis dazu sieht dann bei mir wie folgt aus: h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) = h(x), also h(-x) = h(x).


Passt das so? Wenn es falsch ist, wäre ich für eine Korrektur dankbar.

Wie schaut es dann mit 2.) aus?

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1 Antwort

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Du leitest einfach die Identitaeten \(f(-x)=f(x)\) und \(f(-x)=-f(x)\) nach \(x\) ab. Dann steht das Ergebnis da.

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Könntest du mir das einmal an Beispiel 1.) zeigen?

Wenn möglich kleinschrittig

Du wirst sicher \([f(-x)]'\) mit der Kettenregel berechnen koennen, oder?

f(x) = f(g(x))
f'(x) = f'(g(x))*g'(x)
geg.: f(-x) = f(x)
f(x) --> f'(x)
f(-x) --> f'(-x)*(-1)    mit g(x)=-x
==> f'(x) = -f'(-x)   ==> f'(x) ist ungerade

passt das?

Jo.

----------

Kann man das noch irgendwie schöner aufschreiben?

Bei 2.) wäre es dann: f gerade mit f (x) = - f (-x)

Kettenregel: f ' (x) = - f ' (-x) ==> f ' ist gerade

passt das?

Kettenregel: f ' (x) = - f ' (-x) ==> f ' ist gerade

passt das?

Offensichtlich nicht.

f(x) = -f(-x)
f(x) --> f'(x)
-f(-x) --> -f'(-x)*(-1) mit g(x) = -x 

==> f'(-x) = f(x)

==> f'(x) gerade


jetzt?

Wäre sehr nett, wenn wer anderes noch die Ergebnisse kontrollieren könnte und ob es eine Möglichkeit gibt, dass ganze schöner aufzuschreiben

Kann mit bitte einer bestätigen, dass folgende Aufgabe von mir richtig gelöst ist?

1.) Ist f eine gerade Funktion, so ist f ' ungerade

f(x) = f(g(x))
f'(x) = f'(g(x))*g'(x)
geg.: f(-x) = f(x)
f(x) --> f'(x)
f(-x) --> f'(-x)*(-1)    mit g(x)=-x
==> f'(x) = -f'(-x)   ==> f'(x) ist ungerade

2.) Ist f eine ungerade Funktion, so ist f ' gerade.

f(x) = -f(-x)
f(x) --> f'(x)
-f(-x) --> -f'(-x)*(-1) mit g(x) = -x 

==> f'(-x) = f(x)
==> f'(x) gerade

Ansonsten würde ich mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte, so etwas formal korrekt aufzuschreiben

Kurz und buendig etwa so:

$$f(-x)=f(x)\Rightarrow[f(-x)]'=f'(x)\Rightarrow -f'(-x)=f'(x)\quad\text{(Kettenregel)}$$

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