Zeige: f ist eine un/gerade Funktion, so ist f ' un/gerade?

Question

Wenn man davon ausgeht, dass f: ℝ → ℝ eine differenzierbare Funktion ist, wie zeigt man:

1.) Ist f eine gerade Funktion, so ist f ' ungerade

2.) Ist f eine ungerade Funktion, so ist f ' gerade.

Ansatz:

1.) f gerade und g ungerade, h = f o g. Wenn nun h gerade sein soll, dann ist zu zeigen h(-x) = h(x).

Der Beweis dazu sieht dann bei mir wie folgt aus: h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) = h(x), also h(-x) = h(x).

Passt das so? Wenn es falsch ist, wäre ich für eine Korrektur dankbar.

Wie schaut es dann mit 2.) aus?

Answer 1

Du leitest einfach die Identitaeten \(f(-x)=f(x)\) und \(f(-x)=-f(x)\) nach \(x\) ab. Dann steht das Ergebnis da.

Comments

Könntest du mir das einmal an Beispiel 1.) zeigen?

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Wenn möglich kleinschrittig

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Du wirst sicher \([f(-x)]'\) mit der Kettenregel berechnen koennen, oder?

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f(x) = f(g(x))
f'(x) = f'(g(x))*g'(x)
geg.: f(-x) = f(x)
f(x) --> f'(x)
f(-x) --> f'(-x)*(-1)    mit g(x)=-x
==> f'(x) = -f'(-x)   ==> f'(x) ist ungerade

passt das?

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Jo.

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Kann man das noch irgendwie schöner aufschreiben?

Bei 2.) wäre es dann: f gerade mit f (x) = - f (-x)

Kettenregel: f ' (x) = - f ' (-x) ==> f ' ist gerade

passt das?

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Kettenregel: f ' (x) = - f ' (-x) ==> f ' ist gerade

passt das?

Offensichtlich nicht.

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f(x) = -f(-x)
f(x) --> f'(x)
-f(-x) --> -f'(-x)*(-1) mit g(x) = -x 

==> f'(-x) = f(x)

==> f'(x) gerade

jetzt?

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Wäre sehr nett, wenn wer anderes noch die Ergebnisse kontrollieren könnte und ob es eine Möglichkeit gibt, dass ganze schöner aufzuschreiben

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Kann mit bitte einer bestätigen, dass folgende Aufgabe von mir richtig gelöst ist?

1.) Ist f eine gerade Funktion, so ist f ' ungerade

f(x) = f(g(x))
f'(x) = f'(g(x))*g'(x)
geg.: f(-x) = f(x)
f(x) --> f'(x)
f(-x) --> f'(-x)*(-1)    mit g(x)=-x
==> f'(x) = -f'(-x)   ==> f'(x) ist ungerade

2.) Ist f eine ungerade Funktion, so ist f ' gerade.

f(x) = -f(-x)
f(x) --> f'(x)
-f(-x) --> -f'(-x)*(-1) mit g(x) = -x 

==> f'(-x) = f(x)
==> f'(x) gerade

Ansonsten würde ich mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte, so etwas formal korrekt aufzuschreiben

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Kurz und buendig etwa so:

$$f(-x)=f(x)\Rightarrow[f(-x)]'=f'(x)\Rightarrow -f'(-x)=f'(x)\quad\text{(Kettenregel)}$$