lim x -> -unendlich log(1+e^-x)/sqrt(1+x^2)

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe

Nachdem ich 2x l'Hôpital angewendet habe, komme ich auf folgenden Therm:

(-x)  /  ( (x*e^x+1) * √(1+x²) )

Doch das hilft mir bei der Grenzwertberechnung auch nicht wirklich weiter. Hat jemand einen Tipp?

 

Answer 1

geht wohl gegen 1

~plot~ln(1+e^{-x})/(1+x^2)^{1/2};[[-100|100|-1|1]]~plot~

nach dem 1. Hospital hats du doch

(-1 / (e^x +1 )   )    /      ( x / wurzel(x^2 + 1 ))  

und für x gegen - unendlich geht es oben und unten gegen -1 also

insgesamt GW = 1

Comments

Wie kommst du auf ( x / wurzel(x² + 1 ))   = -1 (x --> -unendlich) ?

Ich kann den Term ja umschreiben zu wurzel (x² / (x² + 1 ) ) = wurzel(1+ x²). Und das geht doch nicht gegen -1 für x -> - unendlich?

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Vorsicht, für x<0 ist 

x / wurzel(x² + 1 )

=  minus wurzel (x² / (x² + 1 ) )

=  - wurzel (1 / (1 + 1/x^2  ) )

und in der Wurzel geht es gegen 1 also insgesamt gegen  - 1 .

Answer 2

   Sagen wir mal



                                      ln  [  1  +  exp  (  x  )  ]
        lim                       -----------------------------------                  (  1  )
    x ===> ( °° )                sqr  (  x  ²  +  1  )

      (  1  )  ist von der Form f ( x ) / g ( x ) mit

          f  (  x  )  :=  ln  [  1  +  exp  (  x  )  ]         (  1a  ) 

       g  (  x  )  :=  sqr  (  x  ²  +  1  )      (  1b  )

      Zur Anwendung kommt die krankenhausregel; wir untersuchen die Ableitungen

       f  '  (  x  )  =  F  (  z  )  :=  z / (  z  +  1  )  ===>  1        (  2a  )

                    z  :=  exp  (  x  )         (  2b  )

        g  '  (  x  )  =  x / sqr  (  x  ²  +  1  )      (  3a  )

        (  g  '  )  ²  =  x  ² / (  x  ²  +  1  )    ===>  1         (  3b  )