Ist das eine Basis eines Vektorraums R^3? Vektoren (0|2|1) und (1|5|3)

Question

Hallo :)

Ich habe schon rausgefunden, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind, aber ich weiß nicht ob sie eine Basis zu dem Vektorraum ℝ³ bilden. Wenn nicht, wie kann ich sie zu einer ergänzen?

Das sind die beiden Vektoren:

(0|2|1) und (1|5|3)

Answer 1

für eine Basis eines Vektorraumes gilt doch, man kann durch Linearkombination dieser Vektoren, jeden beliebigen Vektor des Vektorraumes erzeugen. Weiterhin brauch man für die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums auch n Vektoren.

Dein Vektorraum hat die Dimension 3 und Deine Basis besteht aus 2 Vektoren. Damit kann man nur eine 2-dimensionale Ebene aufspannen.

Also brauchst Du einen weiteren Vektor.

Da bei einer Basis alle Vektoren untereinander linear unabhängig sein müssen, musst Du den dritten so wählen, dass dieser ebenfalls wieder unabhängig zu den beiden anderen ist, z.B. (0|1|1).

Standardbasis ℝ³ wäre (1|0|0),(0|1|0),(0|0|1).

Gruß

Comments

Ist es wichtig, dass es der Vektor (0|1|1) ist oder kann es jeder beliebige sein, der linear unabhängig zu den anderen beiden ist?

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Jeder beliebige, der linear unabhängig ist. Ich wollte nur zeigen, dass man relativ schnell einen bestimmen kann, daher auch das "z.B.".

Gruß