Limes mit Taylorpolynom

Question

\( lim_{x ↓ 0} \frac{1 - cos(\sqrt{x})}{sin(x)}\)

Der Grenzwert ist laut wolfram alpha + geogebra \( \frac{1}{2} \). Habe für cos und sin jeweils bis n=3 die Taylorpolynome aufgeschrieben und damit dann weiter gerechnet, aber keine Ahnung wo der Fehler ist, denn im Zähler kriege ich 0 raus, was ja schon nicht stimmen kann

die Polynome:

für \( cos(\sqrt{x}) = 1 + 0  x + \frac{0}{2} {x}^{2} + \frac{0}{6} {x}^{3} = 1\)

für \( sin(x) = 0 + 1 + \frac {0}{2}{x}^{2} - \frac{1}{6} {x}^{3} = 1 - \frac{1}{6} {x}^{3}\)

Bitte um Hilfe

Answer 1

Deine Potenzreihenanfaenge sind falsch rausgekommen. Richtig ist $$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-+\cdots$$ und $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-+\cdots.$$ Damit kommt dann auch das richtige Ergebnis raus.

Nebenbei kann man zur Grenzwertberechnung nicht einfach die Funktionen durch Taylorpolynome ersetzen, man muss schon wissen, dass die Funktionen an der Grenzwertstelle in eine konvergente und die Funktion darstellende Potenzreihe entwickelt werden koennen. Und wenn man die Reihenentwicklungen nicht auswendig weiss, dann ist es auch nicht mehr unbedingt schneller als mit L'Hospital.

Comments

Nebenbei: Das ist sogar lustig, und mir so bisher entgangen: $$1-\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}-\frac{x^3}{6!}+-\cdots=\begin{cases}\cos\sqrt{x}&\text{fuer $x\ge0$,}\\\cosh\sqrt{-x}&\text{fuer $x<0$.}\end{cases}$$ Eine zusammengestueckelte reell analytische Funktion!

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die Aufgabe ist so gestellt mit den Taylorpolynomen und l'hopital hatten wir nicht und werden wir wahrscheinlich auch nicht mehr machen.

aber ich brauche doch die Potenzreihe von \(cos(\sqrt{x}) \) und nicht von \( cos (x) \) ?

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Steht im Kommentar. Man ersetzt \(x\) durch \(\sqrt{x}\).

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und wieso macht man das und kann man das einfach so machen ?

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Weil die Kosinusreihe für alle x gilt. Da kann ich dann für x auch setzen, was ich will.

Answer 2

Du hast (cos(sqrt(x)) falsch abgeleitet, du hast die innere Ableitung vergessen. dann sollte es hinhauen, allerdings wird es ein wenig hässlich

Comments

die frage ist schon was älter und hat sich auch schon längst erledigt.

trotzdem danke