Taylorpolynom Annäherung an Funktion

Question

Aufgabe:

Gegen sei die Funktion f(x) = \( \frac{1}{1-x} \).

1) Berechne das Taylorpolynom 3. Grades von f im Entwicklungspunkt x=0 und stelle das Taylorpolynom n. Grades zu x=0 auf.

2) Für welche x ∈ ℝ nähert sich das Taylorpolynom für n -> ∞ der obigen Funktion an.

Bei 1) habe ich das Taylorpolynom bestimmt und als Taylorpolynom n. Grades

T(x) = 1 + x + x² + … + xⁿ heraus.

Wie gehe ich aber bei der 2) vor ich habe mir überlegt, dass man das über die geometrische Summenformel lösen soll und habe diese aufgestellt aber weiß nicht weiter, was ich machen soll. Ich wäre über eine kurze Hilfe dankbar!

Comments

Für x->1 aber wie kann ich das richtig umformen, weil es kommt bei mir immer „\( \frac{∞}{∞} \)“ heraus.

Answer 1

Und wann konvergiert die geometrische Reihe?

Comments

Für x->1 aber wie kann ich das richtig umformen, weil es kommt bei mir immer „\( \frac{∞}{∞} \)“ heraus.

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Das stimmt nicht. Du hast doch gesagt, du willst über die geometrische Reihe argumentieren. Wie lautet sie denn?

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Xⁿ⁺¹ - 1 / x - 1

Die konvergiert gegen Unendlich oder?

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Nein. Die würden dann übrigens divergieren. Für bestimmte Werte konvergiert die geometrische Reihe. Schlag das mal nach. Und dann kannst du damit die Aufgabe auch beantworten.

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Es geht bei der Reihenkonvergenz nicht um \(x\) gegen irgendwas, sondern was \(\sum\limits_{i=0}^n x^i\) für \(n\to\infty\) tut. Das hängt nämlich von \(x\) ab.

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Habe mal die Summenformel in GeoGebra eingegeben und erkannt, dass die Funktion f links von der x-Achse in etwa abgebildet wird. Aber einem bestimmten Wert wird die Funktion nicht mehr abgebildet, sondern geht bei x= -1 einfach gerade gegen -∞.

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Hast du die geometrische Reihe immer noch nicht nachgeschlagen? Dann wüsstest du nämlich, dass sie für \(x=-1\) nicht konvergiert.

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Aber was ist an meiner geometrischen Summenformel xⁿ⁺¹ - 1 / x - 1 falsch?

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Dass du den Unterschied zwischen geometrischer Summe und geometrischer Reihe nicht kennst. Es geht um den Fall \(n\rightarrow \infty\). Das entspricht dann der geometrischen Reihe.

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Oh, das mit der geometrischen Reihe habe ich immer überlesen, ich dachte damit wäre die Summenformel gemeint. Sorry für die Verwirrung

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In der Mathematik sind die Dinge klar und deutlich definiert. :)