Zeigen Sie das L ein R^4 Vektorraum ist.

Question

Sei L:={(x1,x2,x3,x4)∈ℝ^4: x3+2*x4-x2=0}.

Zeigen Sie : (L,+,*) ist ein Vektorraum über ℝ, wobei + und * die übliche Vektoraddition bzw. die skalare Multiplikation für Elemente aus ℝ^4 bezeichnen.

Ich weiß, dass ich hier die Gültigkeit der Axiome zeigen muss. Also zu zeigen ist:

V1) (L,+,*) ist ablesche Gruppe

V2) (a*b)*v=a*(b*v)

v3) 1*v=v

v4) (a+b)*v=(a*v)+(b*v)

V5) a*(v+w)= (a*v)+(a*w)

Nun weiß ich leider nicht wie ich die Vorschrift: x3+2*x4-x2=0 bei den Axiomen einbauen soll.

Ich würde mich über Hilfe freuen.

Comments

Anstatt bei Adam und Eva anzufangen, wuerde ich das Unterraumkriterium benutzen.

Answer 1

Nun weiß ich leider nicht wie ich die Vorschrift: x3+2*x4-x2=0 bei den Axiomen einbauen soll.

Das L ist eine Teilmenge von IR^4. Also gelten die ganzen Axiome auch für L. Du musst nur zeigen,

dass du beim Rechnen in L diesen Bereich nicht verlässt.

also für x,y aus L muss auch x+y aus L sein und für

jedes x asu L und a aus IR muss a*x aus L sein.

das erste siehst du leicht ein, denn wenn x, y aus L sind, dann gilt

x3+2*x4-x2=0    und   y3+2*y4-y2=0   und dann auch

(x3+y3)+2*(x4+y4)-(x2+y2) =0 

und ebenso bei a*x gilt dann

a*x3+2*a*x4-a*x2=0

Also L Untervektorraum von IR^4.

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Oki. Vielen Dank für die schnelle Antwort! :))