Berechnen Sie det A und die letzte Spalte von A^-1, sei A= LR

Question

Aufgabe:

Für die letzte Ziffer Ihrer Matrikelnummer \( a \in\{0,1, \ldots, 9\} \) sei \( A=L R \) mit (Nulleinträgen werden weggelassen)

\( L=\left[\begin{array}{lllll} 1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 2 & 1 & & \\ 4 & 3 & 2 & 1 & \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right], \quad \quad R \equiv\left[\begin{array}{llllc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & 2 & 2 & 2 & 2 \\ & & 3 & 3 & 3 \\ & & & 4 & 4 \\ & & & & 1+a \end{array}\right] \)

(a) Berechnen Sie det \( A \).

(b) Berechnen Sie die letzte Spalte von \( A^{-1} \).

Hinweis: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lösung des Systems \( A x \equiv b \) und der Lösung des Systems \( L z \equiv b, R y=z \) (wobei \( b \) ein beliebiger Vektor passender Größe ist)?

Answer 1

det(A) = det(L*R) = det(L) * det(R) = 1*1*1*1*1  *  1*2*3*4*(1+a)

Comments

Die letzte Spalte (in Form eines Vektors x) von A^-1 erhältst du durch A^-1 * ( 0;0;0;0;1)^T .
also   x =  A^-1 * ( 0;0;0;0;1)^T
   ⇔     A*x = ( 0;0;0;0;1)^T
   ⇔    (L*R)*x =  ( 0;0;0;0;1)^T

   ⇔    L( R*x)  =  ( 0;0;0;0;1)^T 

wenn du Rx als z denkst und dieses Gleichungssystem hinschreibst,

siehst du sofort, das z = ( 0; 0; 0 ; 0 ; 1 )^T  ist

also  ist  R*x = ( 0; 0; 0 ; 0 ; 1 )^T 

und das hingeschrieben gibt in der letzten Zeile

(1 + a ) * x5 = 1

x5 = 1 / (1+a) wegen a>-1 ist der Nenner nicht 0.

und in der 4. Zeile stand

4*x4 + 5*x5 = 0

4x4 = -5x5

x4 = -5/4 * x5 = -5/ (4*(1+a))

etc .  wenn du alles von x1 bis x5 hast, hast du die letzte Spalte von A^-1  .