Numerisches Lösen von DGLen

Question

Gegeben sei das Anfangswertproblem $${ y }^{ '' }(t)=t*{ y }^{ ' }(t)+2y(t)=0$$

mit den Anfangswerten $$y(0)={ y }^{ ' }(0)=1$$

Forme die DGL in ein System 1.Ordnung um und löse das resultierende Problem näherungsweise mit

1) expliziten Euler Verfahren

2) impliziten Euler Verfahren

3) Heun Verfahren

Verwende in allen drei Fällen die Schrittweite h=0.2.

Comments

Die Umformung sieht jetzt so aus:

$$\left( \begin{matrix} { y }_{ 1 }^{ ' } \\ { { y }_{ 2 }^{ ' } } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { y }_{ 2 } \\ t*{ y }_{ 2 }+2*{ y }_{ 1 } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & t \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { y }_{ 1 } \\ { y }_{ 2 } \end{matrix} \right) $$

mit

$$y(0)=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) $$

Die Formel für das explizite Euler-Verfahren lautet:

y^j+1 = y^j + h*f(t_j , y^j)

Meine Frage ist jetzt. Wie verwende ich die Formel bei einem mehrdimensionalem Problem?

LG