Was ist 1/4 : 1/4? Definition. Ist ein Bruch gleich stark wie das Divisonszeichen?

Question

Was ist 1/4 : 1/4?

Ist ein Bruch gleich stark wie das Divisonszeichen? Oder haben Brüche automatisch klammern, also quasi (1/4) : (1/4)?

Ich habe Informatik studiert, aber so ein Problem kommt in der Mathematik nie vor (zwei verschiedene Divisionszeichen etc) und bei der Definition von Brüchen würgt sich das Internet auch ziemlich einen ab. Für mich ist die Aufgabe nicht klar und wenn überhaupt kommt 1/16 raus.

Comments

Angenommen \(/\) und \(:\) seien gleichwertig, so wird von links nach rechts ausgewertet, d.h. \(1/4/1/4=(1/4)/1/4=((1/4)/1)/4\), mit dem Ergebnis \(1/16\).

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Ja und nehmen wir nun mal, abweichend vom bereits Gesagten an, es handele sich um ein Zahlenverhältnis, dann entspräche es dem Verhältnis \(1 : 1\). Vielleicht soll aber noch das Zustandekommen diese Verhältnisses dokumentiert bleiben, dann bleibt es vielleicht auch bei \(\frac 14 : \frac 14\).

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Es ist kein Verhältnis nichts. Es sind Division und es soll eine reelle Zahl aus Ergebnis rauskommen. Die Frage scheint aus dem Zusammenhang gerissen, es kommt aber nur darauf an was aus der Rechnung rauskommt.
1/4 : 1/4 = x
Was ist x.

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Die Frage ist doch einfach:

Bindet ein Bruchstrich stärker als ein Divisions-Operator? Ist also um den Bruch in seiner Gesamtheit eine implizierte Klammer? Gibt es dafür eine Definition?

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Ja (er bindet stärker), denn abweichend von meiner Antwort oben macht nur dann die Unterscheidung zwischen \(/\) und \(:\) überhaupt Sinn.

Es gilt z.B. auch Folgendes: \(ab/cd=\frac { ab }{ cd }\) während \(a*b/c*d=a\frac { b }{ c } d=\frac { abd }{ c } \) ist.

Damit ist auch \(a:b/c:d=\frac { \frac { a }{ \frac { b }{ c }  }  }{ d } =\frac { ac }{ bd } \) und \(a/b:c/d=\frac { \frac { a }{ b }  }{ \frac { c }{ d }  } =\frac { ad }{ bc } \).

Kurzfassung: Das Ergebnis ist \(1\).

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Ja, ich denke auch, dass Brüche sozusagen automatisch klammern haben (1/4) : (1/4). Jedenfalls wird es doch SO zwischen dem 4. und 6. Schuljahr erklärt, "Man teilt Brüche in dem man mit dem Kehrwert multipliziert". Und DAS funktioniert doch nur dann, wenn ein Bruchstrich stärker bindet als ein Divisionsoperator. Oder sehe ich da etwas falsch?

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Wo und in welcher Definition binden denn Brüche stärker. Es mag ja eine Konvention geben in der Schulmathematik, aber nicht alles was man dort lernt ist richtig. Für mich sind alle Divisionen gleich.

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Im Original lautet die in etwa "Welche Zahl ist größer "1/4 : 1/4" oder "1/5 + 1/5"". Diese Frage lässt sich dann ziemlich schnell auf die (in den Kommentaren ergänzte) Originalfrage reduzieren.

Es ist kein Verhältnis. Am Ende soll eine reelle Zahl als Ergebnis stehen.

Die Frage ist vielmehr: Ist das Ergebnis mit dieser Schreibweise eindeutig definiert oder kann man mathematisch verschiedene Ergebnisse bekommen (1/16 ohne automatische Klammerung, 1 mit)

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Ok, sollen hier zwei Bruchzahlen (in Bruchschreibweise) dividiert werden, dann ist das Ergebnis 1, da tatsächlich unterstellt werden muss, dass die Bruchzahlen die Operanden sind, der Bruchstrich aber entweder kein Operator, sondern Teil der Bezeichnung ist, oder man ihn sich hilfsweise als Operator mit höherer Priorität oder auch den ganzen Bruch als Operand mit unsichtbaren Klammern im Sinne von "(1/4)" vorstellen muss.

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Sieht der Term denn so aus:
$$\frac 14 : \frac 14 $$oder so:
$$1/4 : 1/4 $$Trifft der erste Fall zu, würde ich zu \(1\) auswerten. Im zweiten Fall würde ich mir an den Kopf fassen.

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Es ist tatsächlich

1/4 : 1/4

und nicht mit waagerechten Bruchstrichen. Das Problem bei Rechnern ist halt, dass niemand in der Mathematik auch nur Ansatzweise so einen Term schreiben würde und es damit eine Ausnahme ist...ob die Programmierer darüber nachgedacht habe, bezweifle ich fast. Außerdem widersprechen sich ja einige Konventionen.

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Man könnte "Punkt-vor-Strich-Rechnung" verabreden... :-)

Answer 1

Mathematisch ist da nicht viel anderes zu machen, als zu sagen, man solle im Zweifelsfall Klammern verwenden.

In der englischen Fassung der Wikipedia wird noch eine Präzendenzliste für Programmierer angegeben:

https://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations#Programming_languages

Weiter oben auch die mathematischen Regeln.

Dein 1/4 : 1/4 kannst du (wie Wolframalpha das macht) so interpretieren, wie es gemeint sein könnte.

D. h. als Verhältnis von zwei Brüchen "1/4 zu 1/4". Dann gibt das 1 oder dort "stur" 1 : 1.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F4+%3A+1%2F4