Wie berechnet man das charakteristische Polynom einer 4x4 Matrix mit Unbekannten?

Question

bisher habe ich nur charakteristische Polynome von 3x3 Matrizen mit bekannten Zahlen berechnet.Wie müsste ich es bei Matrizen wie dieser zum Beispel machen?A= (1.Spalte: 0,0,0,-a 2.Spalte: 1,0,0,-b 3.Spalte: 0,1,0,-c 4.Spalte: 0,0,1,-d)

a,b,c,d ∈ℝ

Grüße

Comments

Ok ich glaub ich hab jetzt doch verstanden wie es geht, aber ich bin mir nicht sicher. Ist das Ergebnis dλ³-b-cλ+a richtig?

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Es sollte ein Polynom vierten Grades sein.

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Stimmt du hast recht, ich habe es jetzt nochmal ausgerechnet und bin auf: -dλ⁴+cλ²+bλ+a gekommen. Ist das jetzt richtig?

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vgl. Antwort unten.

Answer 1

Entwicklung nach der ersten Spalte liefert$$p_A(t)=\det(t\cdot I_4-A)=\det\begin{pmatrix}t&-1&0&0\\0&t&-1&0\\0&0&t&-1\\a&b&c&t+d\end{pmatrix}$$$$=t\cdot\det\begin{pmatrix}t&-1&0\\0&t&-1\\b&c&t+d\end{pmatrix}-a\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0&0\\t&-1&0\\0&t&-1\end{pmatrix}.$$

Comments

Hi, vielen Dank für deine Antwort. Zwei Frage hätte ich aber noch: Macht es einen Unterschied, wenn man für "t"

"-t" einsetzt? Weil ich glaube wir haben immer det (A-t*I₄) gemacht. Und würde am Ende das Ergebnis dλ³-b-cλ+a  als charakteristisches Polynom herauskommen?

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(1)  macht (hier) keinen Unterschied.
(2)  als Ergebnis habe ich \(p_A(t)=t^4+dt^3+ct^2+bt+a\).

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Achso ok. Könntest du vielleicht noch kurz die Zwischenschritte aufschreiben, wie du darauf kommst? Bei mir kommt irgendwie immer was anderes raus

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Ok brauchst du nicht mehr, ich hab es jetzt rausbekommen. Vielen Dank für deine Hilfe! :)

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Man hat nun zwei \(3\times3\)-Determinanten. Eine davon ist aufgrund ihrer Dreiecksgestalt leicht zu berechnen. Die andere entwickelt man wieder nach der ersten Spalte.