Termvereinfachung Grenzwert möglich? lim ((x^2 -1)/(x(x-1)))

Question

Kann man den Grenzwert nicht durch Termvereinfachung lösen?
Wie geht es weiter, kürzen kann man nicht...

Answer 1

Hi,

wenn Du Dir einen Bruch anschaust,  mit jeweils Polynomen im Zähler und Nenner, ist es ausreichend die höchsten Potenzen anzuschauen. Sind diese gleich, so entspricht der Vorfaktor dem Grenzwert.

Hier hast Du beides Mal den Grad 2, somit schaust Du Dir die Vorfaktoren an und erkennst den Grenzwert zu 1/1 = 1.

(Das x ist im Unendlichen nicht weiter wichtig, wenn man schon x^2 hat und kann vernachlässigt werden).

Ausführlich kannst Du das machen, wenn Du mit der höchsten Potenz kürzt, hier also mit x^2 ;)

Grüße

Comments

Was meinst du mit Vorfaktor?

Ausführlich kannst Du das machen, wenn Du mit der höchsten Potenz kürzt, hier also mit x² ;)

Aus den Summen darf man doch nicht kürzen oder?

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Ein paar Beispiele

4*x^2, 32478,34*x^{34}, 3/4*x^{4,5}

Alles was "vor" dem x steht, ist ein Vorfaktor (kann natürlich auch dahinter stehen :P).

In der Tat kann man aus Summen nicht kürzen. Aber Du kannst erst x^2 ausklammern ;).

$$\frac{x^2-1}{x^2-x} = \frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac1x\right)} = \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1-\frac1x}$$

Wenn man das nun im Limes betrachtet, dann sind die jeweils letzten Summanden 0. Übrig bleibt 1/1 = 1.

Das kann man mit der von mir genannten Merkregel überspringen und direkt über die Vorfaktoren bestimmen ;).

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Das habe ich ja gar nicht gemerkt mit dem Vorfaktor, das funtkioniert wirklich . Dankeschön.

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:). Kein Ding.

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Eine kurze Frage habe ich noch.
Das mit dem Vorfaktor funktioniert aber nur wenn ein Polynom vorhanden ist , bsp einmal im Zähler und Nenner oder?Und wenn es mehrere gibt, muss das höchste genommen werden.

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Es funktioniert auch, wenn man kein Polynom vorliegen hat. Aber nicht immer. Deshalb muss man da dann vorsichtiger sein ;).

Der letzte Satz aber passt. Immer das höchste von Zähler und Nenner nehmen. Wenn das höchste des Zählers aber größer ist als der Nenner, dann gehts gegen ∞ (oder -∞). Wenn der Nenner größer ist als der Zähler, dann gehts gegen 0. Nur wenn beide gleich groß sind, schauen wir uns die Vorfaktoren an ;).

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Wenn das höchste des Zählers aber größer ist als der Nenner, dann gehts gegen ∞ (oder -∞). Wenn der Nenner größer ist als der Zähler, dann gehts gegen 0.
Hast du vielleicht jeweils ein bsp?

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Ich lass mal den Limes weg :). Soll je gegen unendlich gehen.

Für

(4x^2 - 3x^3)/(2x-1)

haben wir den Grenzwert gegen -∞, denn der Zählergrad ist größer als der Nennergrad, aber im Zähler ist vor der höchsten Potenz ein negatives Vorzeichen.

Für

(2x-1)/(4x^2-3x^3)

haben wir den Grenzwert 0. Da ist das Vorzeichen dann auch egal ;).

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Vielen Vielen Dank :D

(-4x² - 3x³)/(2x-1)

Das wäre aber auch wieder -∞ oder?

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So ist es :).

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Musst nur im Nenner aufpassen, wenn vor der höchsten Potenz nen negatives Vorzeichen ist, beeinflusst das den Grenzwert dann doch ;).

Also hier vor 2x nen Minus und wir haben +∞

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(-4x² - 3x³)/(-2x-1)

---> Das würde dann bedeutet

  minus / mius =+ ...

Aber im Zähler haben wir doch zwei mal das Minus

-> minus * minus / minus=minus oder? Kann man mit dem Prinzip arbeiten ?

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Ist es Okay wenn ich wieder kurz was frage?
Wenn es okay ist...:
Ich habe das mal mit den Grenzwertsätzen gemacht.
Könnte ich das einfach so stehen lassen ??
Aber in Wirklichkeit geht es ja --->-∞

(limes weggelassen)

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Es interessiert uns ja nur die höchste Potenz. Dir Vorzeichen der niederen Potenzen sind irrelevant ;).

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Du sagst doch aber Also hier vor 2x nen Minus und wir haben +∞ :)
x³ war die höchste Potenz...

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Da steht letztlich nicht 0-0. Wir gehen ja nur gegen 0. Also fast 0. Und 1/"sehr kleine Zahl" ist unendlich. Da wir im Zähler aber -3 haben, geht das ganze sogar gegen -unendlich ;).

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Immer Zähler und Nenner für sich betrachtet^^.

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Immer Zähler und Nenner für sich betrachtet^^.

Also stimmt das ?:

(-4x² - 3x³)/(2x-1)=-∞

(-4x² + 3x³)/(2x-1)=+∞

(-4x² + 3x³)/(-2x-1)=-∞

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Sehr gut. So ist es :).

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Da steht letztlich nicht 0-0. Wir gehen ja nur gegen 0. Also fast 0. Und 1/"sehr kleine Zahl" ist unendlich. Da wir im Zähler aber -3 haben, geht das ganze sogar gegen -unendlich ;).

Achso, weil ja im Zähler ein negatives Vorzeichen ist....

Ich glaube ich muss das nicht genau aufschreiben, wenn man mit den Grenzwertsätzen arbeitet..
Die Testeinsetzungen können aber helfen oder die Regel von dir.

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Wie geht das aber hier?:

(-4x³ + 3x³)/(+2x-1)=??
Im Zähler haben -4x³ und +3x³ den größten Exponenten, welches Vorzeichen nimmt man dann ?

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Ich denke auch, dass wenn Du die Heranführung bringst, die letztliche Interpretation als selbstverständlich angesehen werden kann. Die Kontrolle über die "Merkregel" ist in jedem Falle wichtig. Wenn ich mich recht erinnere, hatte das sogar als Erklärung ausgereicht, damals, als ich noch jung war :P. Nen Satz dazu halt ;).

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Zum letzten Beitrag:

Ist natürlich positiv. Ist ja "alles" positiv :).

Kein Ding

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(-4x³ + 3x³)/(+2x-1)=??

Warum denn positiv wenn einmal ein negatives Vorzeichen und einmal ein postives Vorzeichen dabei ist

-x³ und +x³

:?

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Ah sry, hatte nicht gesehen, dass Du den Exponenten verändert hast.

Fasse zusammen und urteile dann ;).

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Achso zusammenfasse geht ja:
dementsprechend: -∞

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Vielen Dank für die schenllen Antoworten.

Eine Frage habe ich noch:
Würde das reichen, wenn ich das damit begründe:

Der letzte Satz aber passt. Immer das höchste von Zähler und Nenner nehmen. Wenn das höchste des Zählers aber größer ist als der Nenner, dann gehts gegen ∞ (oder -∞). Wenn der Nenner größer ist als der Zähler, dann gehts gegen 0. Nur wenn beide gleich groß sind, schauen wir uns die Vorfaktoren an ;).

Oder muss ich das wieder begründen, wie ich überhaupt auf diese Sätze komme mit Beispielen oder so?
Oder hängt das vom Lehrer ab?

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Sry, genau jetzt kommt sie nicht mehr so schnell, die Antwort :D. Mutti :P.

Ja, die Sätze müssten so ausreichend sein. Zumindest wenn ihr das mal so im UNterricht behandelt habt. Wenn ihr das aus dem Unterricht nicht kennt, dann hake besser kurz beim Lehrer nach :).

Answer 2

Hier meine Überlegungen