Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert.

Question

Hallo

Ich habe enorme Mühe bei einer Übungsaufgabe aus meinem Studiengang. Ich wäre um jegliche Hilfe sehr dankbar.

Zitatbeginn

Riemann-Integrierbarkeit

Zeigen Sie, dass die Folge der

konvergiert.

Hinweis: Der Wert γ des Limes ist unbekannt.

Zitatende

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Ich glaube du musst einfach den Grenzwert betrachten.

D.h lim n→∞ von ∑1/n - ln (n)

Answer 1

Teile der harmonischen Reihe kann man als Unter- bzw. Obersummen für \(\int_1^n dx/x\) betrachten: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<\int_1^n\frac{dx}{x}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}.$$ Das macht dann (wenn ich mich nicht verrechnet habe) $$\frac{1}{n}<a_n<1.$$ Brauchst nur noch zu zeigen, dass \((a_n)\) monoton waechst.

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Danke für deine Antwort.

Ich habe mir noch überlegt, ob es auch reichen würde, wenn man zeigt, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist.

Konkret:

 
Ist diese Rechnung bzw. Folgerung korrekt?
Wäre wiederum für eine Antwort sehr dankbar.

Dieser Weg hat allerdings nichts mit dem Riemannintegral zu tun, obwohl es die Überschrift der Aufgabe war.

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Es reicht nicht, zwei benachbarte Folgenglieder zu betrachten, um auf Cauchyfolge zu schliessen. Gegenbeispiel: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\to0\).

Durch Untersuchung von \(a_{n+1}-a_n\) kannst Du aber noch die fehlende Monotonie nachtragen. Dazu eine Korrektur: Die Folge faellt.