Beweis der Exponentialfunktion exp auf R+\{0}

Question

Weisen Sie nach, dass die natürliche Exponentialfunktion exp die reellen Zahlen ℝ surjektiv auf die positiven reellen Zahlen ℝ+\{0} abbildet.

Wer kann mir helfen?

Answer 1

die Exponentialfunktion ist stetig, streng monoton wachsend

und hat die Grenzwerte  lim_{x→ -∞} f(x) = 0  und l im_{x→ -∞} f(x) = ∞

Damit ist sie injektiv  und hat die Bildmenge  ℝ⁺ .

f:: ℝ → ℝ⁺ , x ↦ e^x  ist also bijektiv  und damit inbesondere surjektiv.

Gruß Wolfgang

Comments

Das macht Sinn, ja.

Aber dann hätte ich noch eine Frage: ich muss ja nachweisen, dass die Exponentialfkt. strengmonoton wachsend ist. Am liebsten mache ich das mit Bolzano. Aber wie Beweise ich die Beschränktheit, von einer Exponentialfkt. die ich nicht direkt kenne?

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mit der "natürlichen Exponentialfunktion exp" ist die Funktion mit f(x) = e^x gemeint., du kennst sie also.

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Oh, dann ist das ja super einfach!

Danke dir