Exponentialfunktion "exp" | Äquivalenzbeweis

Question

Mein Ansatz dazu:

exp(x)^n = exp(n*x)

e^{x^n} = e^n*x

Nebenrechnung:

e^nx <=> (e^x )ⁿ

somit gilt:

e^{x^n} = (e^x )ⁿ

Sollte so richtig sein oder?

Comments

Vermutlich habt ihr\(\displaystyle\ \exp(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\ \)definiert. Zeige mit dem Cauchy-Produkt für Reihen, dass
\(\displaystyle\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{y^k}{k!}\right)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(x+y)^k}{k!}\ \)und damit\(\ \exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)\ \)gilt.
Nun Induktion über \(n\):
\(\exp\!\big((n+1)x\big)=\exp(x+nx)=\exp(x)\cdot\exp(nx)=\exp(x)\cdot\big(\!\exp(x)\big)^n=\big(\!\exp(x)\big)^{n+1}\).

Answer 1

Es ist:

$$\exp(x)^n = (e^{x})^n = e^{x\cdot n} = \exp(xn)$$

direkt über die Potenzgesetze... Oder man zeigt dies über die Summe...

Damit würde ich deiner Rechnung so zustimmen...

Comments

Wie meinen sie das jetzt

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Ich würde deiner Berechnung so zustimmen! :)

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\(\colorbox{yellow}{$e^{x^{n}}= e^{x\cdot n}$}\)  Das kann nicht sein.

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Danke für die Editierung, ich wollte das eigentlich in Klammern setzen, das hat dann aber den Ausdruck verunstaltet...

@Danke Arsinoë4 & MontyPython

Answer 2

exp(x)ⁿ=\( (e^x)^{n} \)  = e^n·x , denn Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
e^n·x = exp(n·x).