Aus exp(0)=1 und exp(x+y) = exp(x)*exp(y) folgt für alle x∈ℝ
1 = exp(0)= exp(x + (-x)) =exp(x) * exp(-x) . #
Angenommen exp wäre nicht strikt positiv, dann gäbe es
ein x mit exp(x) ≤0.
1.Fall : x<0 : Dann gibt es wegen der Stetigkeit und exp(0)>0
ein y (Zwischenwertsatz) zwischen 0 und x mit exp(y)=0.
Dann wäre exp(y+(-y))=exp(y)*exp(-y)=0*exp(-y)=0
im Widerspruch zu #.
2. Fall x=0 . Gleiches Argument mit x statt y.