Exponentialfunktion exp(x)

Question

Aufgabe:

Hei, könnte mir einer mit dieser Aufgabe helfen ich verstehe die nicht wirklich?

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Exponentialfunktion, die durch \( \exp (x)=\lim \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \) definiert ist. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass sie eine stetige Funktion ist, die \( \exp (0)=1 \) und \( \exp (x) \exp (y)=\exp (x+y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) erfüllt.

Zeige: exp ist strikt positiv und streng monoton wachsend.

Comments

$$1=\exp(0)=\exp\big(x+(-x)\big)=\exp(x)\cdot\exp(-x)\Longrightarrow\exp(x)\ne0.\\\exp(x)=\exp\big(\tfrac x2+\tfrac x2\big)=\exp\big(\tfrac x2\big)\cdot\exp\big(\tfrac x2\big)=\Big(\exp\big(\tfrac x2\big)\Big)^2\ge0.$$

Answer 1

Aus exp(0)=1 und exp(x+y) = exp(x)*exp(y) folgt für alle x∈ℝ

1 = exp(0)= exp(x + (-x)) =exp(x) * exp(-x) . #

Angenommen exp wäre nicht strikt positiv, dann gäbe es

ein x mit exp(x) ≤0.

1.Fall : x<0 : Dann gibt es wegen der Stetigkeit und exp(0)>0

ein y (Zwischenwertsatz) zwischen 0 und x mit exp(y)=0.

Dann wäre exp(y+(-y))=exp(y)*exp(-y)=0*exp(-y)=0

im Widerspruch zu #.

2. Fall x=0 . Gleiches Argument mit x statt y.