Exponentialfunktion, Beweise |exp(x)-1|<=|x|(e-1)

Question

 
Wie bereits in der Überschrift geschrieben soll ich beweisen, dass
$$\left| exp(x)-1 \right| \le \left| x \right| *(e-1)$$
stimmt.
$$Hier\quad bei\quad gilt\quad auch\left| x \right| \le 1$$
Als Tipp haben wir bekommen:
$$Warum\quad ist\quad \left| exp(x)-1 \right| \le \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { \left| x \right|  }^{ k }?$$
das habe ich bereits durch umformen und der Dreiecksungleichung gezeigt, jedoch komme ich einfach auf keinen Übergang vom Tipp zur Lösung . . . 

Falls jemand zufällig weiß wie ich den Übergang machen kann, bitte ich um einen Tipp :-D


Lipsen

Answer 1

aus der Aufgabenstellung weißt du ja, dass |x|<=1 ist, damit kannst du weiter abschätzen:

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { \left| x \right|  }^{ k }\\=|x|\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { \left| x \right|  }^{ k-1 }\\<=|x|\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { \left| 1 \right|  }^{ k-1 }\\=|x|(-1+\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } )\\=|x|(-1+e)=|x|(e-1) $$

Comments

danke für die schnelle Antwort :D

Answer 2

Hi,
$$ (1) \quad | e^x - 1 | \le \sum_{k=1}^\infty \frac{|x|^k}{k!} = |x| \sum_{k=1}^\infty \frac{|x|^{k-1}}{k!} \le |x| \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} = |x| (e-1)  $$ für \( |x| \le 1 \)

Comments

danke für die schnelle Antwort :D