Beweise zu ln , und exp .

Question

Hallo ich habe die aufgabenstellung folgende Aussagen für den natürlichen Logarithmus zu beweisen:

 für a )

Meine  Idee : Zeigen das die Ableitungen beider Seiten ident sind für x,y∈ℝ beliebig.

Sei x,y∈ℝ beliebig.Sei f:(0,∞)→ℝ,x↦f(x)=ln(x) eine Abbildung .

(ln(xy))´=(1/xy)*y=1/x

(ln(x))´+(ln(y))´=1/x+(1/y)*0 ( weil y konstante ist ) =1/x

für b)

1)  habe ich noch nichts .

2) habe ich mir überlegt ;

e^{ln(x)}=x |ln

ln(e^{ln(x)})=ln(x)

wegen logarithmusregel ln(a^q)=ln(a)*q => ln(x)*ln(e)=ln(x)

aus bsp a kann ich verwenden ln(e)=1 und die gleichung ergibt eine wahre Aussage ln(x)=ln(x) , das gilt für den AngebenenBereich weil das der Definitionsbereichdes Logarithmus ist .

 Ich würde gerne wissen passen a) und b)2. ? und kann mir jemand bei b)1. Helfen?

Danke !

Comments

hi, wie habt ihr den natürlichen logarithmus definiert ohne die Exponentialfunktion zu verwenden?

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Wir haben ihn gezeichnent und lediglich seinen Definitionsbreich angegeben  und für welche funktion der ln die Stammfunktion ist .

Answer 1

a)$$ ln(xy)=\int_{1}^{xy}\frac { 1 }{ u }du=\int_{1}^{x}\frac { 1 }{ u }du+\int_{x}^{xy}\frac { 1 }{ u }du=ln(x)+\int_{x}^{xy}\frac { 1 }{ u }du $$

Substituiere u=x*t--->

$$ ln(x)+\int_{x}^{xy}\frac { 1 }{ u }du=ln(x)+\int_{1}^{y}\frac { 1 }{ t }dt=ln(x)+ln(y)$$

b)$$ln(exp(x))=\int_{1}^{exp(x) \frac { 1 }{ u }}du $$ Setzte u=exp(x), du=exp(x)dx -->

$$ \int_{1}^{exp(x)}\frac { 1 }{ u }du=\int_{0}^{x}dx=x$$

DIe 2te Gleichung folgt dann  daraus.

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Hallo Gast , danke erstmals , wie hast du bei a die letze Zeile Vorgenommen .?

Wie Hast du $$\int _{ x }^{ xy }{ \frac { 1 }{ u\quad  } du } $$ auf $$\int _{ 1 }^{ y }{ \frac { 1 }{ t\quad  } dt } $$ gebracht , also wie hat denn diese Substitution genau  funktioniert ?

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u=x*t ---> 1/u=1/(x*t)

du/dt=x  ---> du=x*dt

---> Integrant 1/u du= x/(x*t) dt=1/t dt

Grenzen einsetzten:

untere Grenze: u₁=x=x*t₁ ---> t₁=1

obere Grenze: u₂₌x*y=x*t₂ ---> t₂=y

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Ich hätte doch noch eine Frage , bei der Substitution :

Gehört da nicht dt/du ? ich hab das so bei allen beispielen gesehen das differntial der neuen variable im Zähler steht und differential der bekannten im Nenner . Irre ich mich da ?

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Das ist eigentlich egal, das kann man sich aussuchen.Weil aber in der Gleichung  u=x*t das u alleine steht ist es einfacher nach u abzuleiten, andersherum geht es aber auch: dt/du=dt/d(x*t)=(1/x)*(dt/dt)=1/x=(du/dt)^{-1}

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Ok das hab ich nachgerechnet passt :).Für die Grenzen bei b): Hast du hier die obere und untere  jeweils als x ersetzt und dann in die Gleichung u=e^x eingesezt? Tue mir etwas schwer das nachvollziehen .

Answer 2

Alternativ definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=\ln(x\cdot y)-\ln(x)\). Ableiten liefert $$h'(x)=\frac1{x\cdot y}\cdot y-\frac1x=0.$$Es existiert also eine Konstante \(c\in\mathbb R\) mit \(h(x)=c\) für alle \(x>0\).
Insbesondere gilt \(c=h(1)=\ln(y)\). Es folgt \(\ln(y)=\ln(x\cdot y)-\ln(x)\).

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Danke dir , so hatte ich das auch nur hab ich auf die Konstante vergessen die die Funktion womöglicher unetrscheidet ;)