Warum ist die Abbildung der Einheitskugel in sich selbst stetig differenzierbar?

Question

Ich bin gerade mit dem Beweis des Brouwer'schen Fixpunktsatzes beschäftigt und habe dazu eine Frage. Warum kann man annehmen, dass eine Abbildung F: B → B stetig diffbar ist? B ist die abgeschlossene Einheitskugel mit B={x ∈ ℝ ^n : || x || ₂ ≤ 1} und n ∈ ℕ.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank schon mal!!

Comments

dass eine Abbildung F: B → B stetig diffbar ist?

Das kommt sehr drauf an, welche Abbildung das ist. Es gibt sicher stetig differnezierbare, aber es gibt sicher

auch andere von B nach B.

Answer 1

Das kann man nicht weil es schlichtweg falsch ist, wird beim Beweis das Satzes aber auch gar nicht benötigt. Was man aber voraussetzen kann:

Es existieren stetig differenzierbare Funktionen von B nach B.

Und diese verwendet man dann für den Beweis.

Gruß

Comments

Und warum kann man das annehmen?

---

Weil man stetig differenzierbare Funktionen schon längst behandelt haben sollte, bevor man zum Beweis des Brouw'schen Fixpunktsatzes kommt. Eigentlich sollte einem sofort mindestens eine einfallen. Wenn du konkrete Beispiele brauchst: Rotationen.

---

Also bei der Aufgabe, mit der ich mich beschäftige, geht es darum, dass man zeigen soll, dass jede stetige Abbildung F: B → B einen Fixpunkt besitzt. Als Hinweis hat man, dass man F mit einer Folge stetig differenzierbarer Abbildungen (F_k: B → ℝⁿ)_k∈ℕ approximieren und mit max{1, sup_x∈B ||F_k(x)||₂} skalieren soll.

Leider habe ich gar keinen Ansatz, da ich mich im Moment mit Analysis sehr schwer tue. Kannst du mir da nochmal helfen?

---

Mit Hilfe der Suchmaschine deiner Wahl findest du doch sehr viele dokumentierte (teils gleiche) Beweis zu diesem Satz (auch welche die sicherlich genau deinem Hinweis nachgehen). Ich würd dir empfehlen einen geeigneten rauszusuchen und, falls fragen noch da sind, diese hier reinzustellen.