Du hast dich einfach schlichtweg verrechnet.
$$ f'(x) = 0 $$
$$ 2\ln(x) +2+\beta = 0 $$
$$ x_m = e^{-(\frac{\beta}{2}+1)} $$
Mit der zweiten Ableitung -> Minimum bei \(x_m\).
Dein Minimum ist aber nicht x_m selber, sondern natürich \(f(x_m)\)!
$$ f(x_m) = -2 e^{-(\frac{\beta}{2}+1)} $$
Verzeih ich hatte nen kleinen Fehler in dem letzten Kommentar, den ich korrigiert habe.
Da \(f(x_m) < 0 \) für alle \(\beta \in \mathbb{R} \), gilt deine Ungleichung also für \(\alpha \geq |f(x_m)| \).