Aufgabe:
Zeigen Sie anhand der Funktion \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, f(x,y)=(x^2,y^3)\), dass sich der Mittelwertsatz nicht auf Abbildungen von \(\displaystyle\mathbb{R}^N\) nach \(\mathbb{R}^M\) mit \(\displaystyle M>1\) übertragen lässt.
Hinweis: Betrachten Sie \(\displaystyle f(1,1)-f(0,0)\).
Ansatz/Problem:
Sei \(\displaystyle t\in[0,1]\).
\(\displaystyle f(y)-f(x)=f(1,1)-f(0,0)=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\)
\(\displaystyle Df(x+t(y-x))(y-x)=Df\left(t\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\right)\left(\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\right)=D\begin{pmatrix} t^2\\t^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2t\\3t^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}=2t+3t^2\)
Nun sollen laut Definition vom Mittelwertsatz beide Gleichungen gleich sein. Also \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}=2t+3t^2\). Das ist offensichtlich ein Widerspruch. Ist das die Idee von der Aufgabe oder bin ich die schon falsch angegangen?
Als zweites hätte ich noch die Idee, die Beträge zu betrachten und gleichzusetzen.
\(\displaystyle |\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}|=\sqrt2=|2t+3t^2|=2t+3t^2\)
Es folgt \(\displaystyle t=0,43\), also würde der Mittelwertsatz gelten. Wo liegt hier der Fehler?
(Zusätzliche Frage: Wie kann man die Betragsstriche in LaTeX größer machen, sodass die über den ganzen Vektor gehen, ähnlich zu \left( und \right)?)
