lgs mit zu vielen unbekannten

Question

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im Anhang befindet sich eine Aufgabenstellung, welcher ich nicht so richtig folgen kann. Nach dem berechnen der Aufgabe und das Setzen eines Parameters können jegliche Zahlen als Antwort auf die Frage : ,, Man ermittle alle Werte s udn t , für die das LGS lösbar ist ", da ich mit Unbekannten rechne. Wie soll ich auf die Frage antworten oder wie kann ich das LGS weiter lösen um der Frage gerecht zu werden. 

Mfg

Comments

> ... und das Setzen eines Parameters ...

Es muss heißen "... und des Setzen zweier Parameter ... "

> ... können jegliche Zahlen als Antwort auf die Frage ...

Das ist richtig.

> ... da ich mit Unbekannten rechne.

Die Begründung ist nicht schlüssig. Stünde zum Beispiel in der letzten Gleichung 2t auf der rechten Seite, dann wäre das LGS überhaupt nicht lösbar.

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Beim berechnen fällt auf, dass das Setzen eines Parameters nur von Nöten ist.

Tzdem rätsele ich wie ich die Frage beantworten soll.  Worauf sich auch mein Hauptproblem bezieht.  Aber Danke für das Kommentar :)

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Ich habe als Lösungsmenge

        { (-3t+2s, 2t, 0, -s, 0)^T + p·(-1, -1, 0, 0, 1)^T + q·(-1, 0, 1, 0, 0)^T ∈ ℝ⁵ | p,q∈ℝ }.

Da reicht ein Parameter nicht.

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Ich habe alles nochmals berechnet. Es scheint, dass du Recht hast. Trotzdem steh ich wie am Anfang auf dem Schlauch bei der Beantwortung von A. Es gibt unendlich viele Lösungen für dieses LGS . Ich kann damit keine genauen Angaben zu s und t geben.

Mfg

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Die Aufgbe lautet:

> Man ermittle alle Werte s und t, für die das LGS lösbar ist

Die genau Anzahl von Lösungen (ob unendlich viele oder nur eine) interessiert also überhaupt nicht.

Aufgrund der Struktur der Lösungsmenge sieht man, dass s und t beliebig gewählt werden können. Der Antwortsatz der Aufgabe lautet also "Das LGS ist für beliebige s und t lösbar".

Das muss nicht so sein. Zum Beispiel ist das LGS

        x + y = s

        x + y = t

        x + y = 1

nur für s = t = 1 lösbar. In diesem Fall hat das LGS aber unendlich viele Lösungen. Im Gegensatz daszu ist das LGS

        x + y = s

        x - y = t

        x + 2y = 0

für alle s,t lösbar, für die t = 3s gilt, hat in diesem Fall aber eine eindeutige Lösung.

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Ich bin ehrlich, ich verstehe deine Antwort nicht. Ich denke mir fehlt noch irgendetwas an Wissen um zu verstehen warum du so begründest. Zudem frage ich mich schon die ganze Zeit wodurch du weißt, dass wenn in der letzten Zeile .. = 2t stehen würde das LGS nicht lösbar ist. Hast du einen Thementipp . Was kann ich mir noch verinnerlichen?     

Vielen Dank für deine Mühen

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Auch hier nocheinmal vielen lieben Dank !

Answer 1

 |  trennt die Matrixzeilen

 Ausgangsmatrix:

[ 4, 6, 4, 7, 10, s  | 1, 2, 1, 2, 3, t  |   2, 3, 2, 2, 5, 2·s  |   3, 5, 3, 6, 8, t ]

 wenn du beim Gauß-Algorithmus bei jedem Schritt die aktuelle Zeile durch die Differenz aus dieser Zeile und einem  passenden Vielfachen der Pivotzeile (= 1.Zeile, in der vor dem Diagonalenelement [≠0 ]  ersetzt, erhält man:

[ 4, 6, 4, 7, 10, s | 0, 1/2, 0, 1/4, 1/2, t - s/4 | 0, 0, 0, - 3/2, 0, 3·s/2 | 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]

Die Lösungen seien von der Form ( x | y | z | v | w ), die Komponenten werden rückwärst aus den Matrixzeilen berechnet:

In der letzten  Zeile bleibt w beliebig.

Einsetzen in die 3. Zeile ergibt  v = -s

Einsetzen in die 2. Zeile ergibt  (z bleibt beliebig)  y = 2t –w

Einsetzen in die 1. Zeile ergibt  x = 2s -3t – z – w

Lösungen:

 ( x, y, z, v, w )  =  ( 2s -3t – z – w |  2t –w |  z | -s | w )      

w,z aus R beliebig, s und t sind ja fest vorgegeben.

[ Eine spezielle Lösung wäre also z.B.  (2s-3t | 2t | 0 | -s | 0) mit w=z=0 ]

Gruß Wolfgang

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Klasse ! Meine Denkblockade ist weg.  Die Veranschaulichung war sehr gut ! Euch beiden eine schöne Woche.