Lösungsmenge von LGS mit unendlich vielen Lösungen darstellen

Question

ich hatte folgendes LGS gegeben, das ich auf Lösbarkeit prüfen und anschließend die Lösungsmenge dafür angeben sollte:

1x+2y+0z=1

3x+6y+1z=3

1x+2y+3z=1

Mein Lösungsergebnis ist:

1x+2y+0z=1

0x+0y+0z=0

0x+0y+3z=0

Ich schließe daraus, dass das LGS unendlich viele Lösungen besitzt, da z auf jeden Fall 0 ist und ich im ersten Ausdruck beliebige Werte einsetzen kann, so dass eine wahre Aussage entsteht bei 1x+2y=0.

Wie stelle ich aber die Lösungsmenge dar? Für ein LGS in Zeilenstufenform mit Nullzeile in der letzten Zeile beherrsche ich das Verfahren, nicht jedoch in einem Fall, wo bei der Zeilenstufenform die 0 in der Mitte steht.

Ich hoffe auf hilfreiche Antworten und danke euch bereits im voraus recht herzlich für eure Mühe!

LG

Answer 1

1·x + 2·y + 0·z = 1

3·x + 6·y + 1·z = 3

1·x + 2·y + 3·z = 1

II - 3·I ; III - I

z = 0

3·z = 0

z muss also Null sein. y kann ich frei wählen und löse x in Abhängigkeit von y.

x + 2·y = 1

x = 1 - 2·y

Der Lösungsvektor lautet also [1 - 2·y, y, 0] = [1, 0, 0] + y·[2, 1, 0].