Prüfen sie ob die folgenden Grenzwerte existieren und geben sie sie an

Question

Bei Grenzwerten von Folgen war es ja so, dass man die größte n potenz nimmt und alle zahlen durch sie teilt. dadurch erhält man dann nullfolgen und durch kürzen dann den grenzwert.

aber wie funktioniert das ganze bei funktionen ?

habe zb a ) lim x->0   (x+1)/x

oder b) lim x->0 (sin (1/x))

gehe ich hier ähnlich vor ?

Comments

lim x->0   (x+1)/x

Polynomdivision
x + 1 : x = 1 + 1 / x

lim x -> 0(-)   [ 1 + 1/ 0(-) ] = 1 + ( -∞ ) = -∞
lim x -> 0(+)   [ 1 + 1/ 0(+) ] = 1 + ( +∞ ) = +∞

~plot~ ( x + 1 ) / x ~plot~

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1/x wäre doch eine nullfolge warum ist dann der grenzwert unendlich ?

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Zu Nullfolgen kann ich dir nichts sagen.

aber wie funktioniert das ganze bei funktionen ?
Deine Anfrage bezog sich auf Funktionen.

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hm ok ich habe noch diese funktion gegen 1

(x^2-1)/(x^2+1) wenn ich hier die 1 einsetze habe ich 0/2 ist das dann mein grenzwert ?

falls ich hier mit der polynomdivision ansetze habe ich dann :

1 + 2/(x^2+1)

gegen 1 wäre das doch dann 1 oder nicht ?

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(x²-1)/(x²+1) wenn ich hier die 1 einsetze habe ich 0/2 ist das
dann mein grenzwert ?

lim x −> 1  [ ( x²-1 ) / ( x²+1 ) ] = 0/2 = 0

0 ist der Grenzwert.

falls ich hier mit der polynomdivision ansetze habe ich dann :

1 + 2/(x²+1)
Leider falsch

    x^2 - 1 : x^2 + 1 =  1 - 2 / ( x^2 + 1 )
- | x^2 + 1
   ---------
             -2

lim x −> 1  [ 1 - 2 / ( x^2 + 1 ) ] = 1 - 2 / 2 = 1 -1 = 0

Also dasselbe wie oben.

Answer 1

lim x->0 (sin (1/x)) existiert nicht , denn wenn du z.B. für x die Folge   xn = 2 / ( n*pi) einsetzt,

ist f(xn) die alternierende Folge (-1)ⁿ⁺¹  und die hat keinen GW

wenn es einen GW gäbe müsst für jede Nullfolge die Folge der Funktionswerte

gegen den gleichen GW gehen, das wäre dann der GW der Funktion für x gegen 0.