Funktionale zusammenhänge exponential funktion

Question

Hallo :)

Ich hab ein mathe problem und bitte um hilfe..

Zuerst zum beispiel:

2 tassen tee haben um 6:00 uhr eine temp. Von 90°C, Umgebungstemperatur beträgt 24°C. 

Durch eine exponentielle abklingfunktion kann die abkühlung beschrieben werden. Die temp der tasse nimmt nach 27 min. um 50% ab

Stelle die gleichung auf

So und ich verstehe es nicht?? Lautet die ausgangsformel für eine exponentielle abnehmfunktion nicht N(t)=N0 * e^-t

In diesem fall wäre ich dann auf N(t)=90*e^{-27t} gekommen..stimmt nur leider nicht

Bitte helft mir und erklärt mir wie mans richtig macht ich möchte es auch verstehen:)

Answer 1

Google mal ein bisschen nach dem Newtonschen Abkuehlungsgesetz. Da findest Du z.B., dass die Gleichung $$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)\quad\text{mit}\quad\text{$T(0)=T_0$}$$ lautet. \(T_0\) ist die Anfangstemperatur des Tees, \(T_a\) die Umgebungstemperatur und \(k\) eine Materialkonstante für Tee, Tasse, Tisch und Luft. Die Lösung lautet $$T=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.$$ Das \(k\) musst Du aus den Angaben bestimmen.

Answer 2

Annahme: Abkühlung nach t=27min auf 45°C.

Temperatur nach t=0 min: 90°C

Temperatur nach t\(\rightarrow \infty \): 24°C (Umgebungstemperatur).

Ansatz: \(T(t)=24+\left[ 90-24 \right] { e }^{ \frac { -t }{ \tau  }  }\) mit Zeitkonstante \(\tau >0\).
$$\begin{aligned}T(0)&=24+66{ e }^{ 0 }=90\\ \lim _{ t\to \infty  }{ T(t) } &=24+66\cdot 0=24\\ T(27)&=24+66{ e }^{ \frac { -27 }{ \tau  }  }:=45\\ &\implies 66{ e }^{ \frac { -27 }{ \tau  }  }=21\\ { e }^{ \frac { -27 }{ \tau  }  }&=\frac { 21 }{ 66 }\quad \lvert\; \ln(...)\\ \frac { -27 }{ \tau  } &=\ln { \frac { 7 }{ 22 }  } \\ \tau &=\frac { -27 }{ \ln { \frac { 7 }{ 22 }  }  } \approx 23,578\\ \implies T(t)&=24+66\mathrm{e}^{ \frac { -t }{ 23,578 }  }\end{aligned}$$