Exponentialfunktion: Wertverlust (Zerfall)

Question

Ein neues Auto der Marke A kostet 20000 Euro und hat einen jährlichen Wertverlust von 16%. Das Modell B kostet 24000 Euro bei 20% Wertverlust.

Wie lauten die Gleichungen der Abnahmefunktionen f ung g, die den Wert der Autos darstellen?

Welchen Wert haben die Autos nach 10 Jahren? Wann sind sie etwa gleich viel wert?

Könnte mir jemand da eventuell helfen?

Answer 1

Ein neues Auto der Marke A kostet 20000 Euro und hat einen jährlichen Wertverlust von 16%. Das Modell B kostet 24000 Euro bei 20% Wertverlust.
Wie lauten die Gleichungen der Abnahmefunktionen f ung g, die den Wert der Autos darstellen?

f(x) = 20000 * (1 - 0.16)^x

g(x) = 24000 * (1 - 0.2)^x

Welchen Wert haben die Autos nach 10 Jahren?

f(10) = 3498.02

g(10) = 2576.98

Wann sind sie etwa gleich viel wert?

20000 * (1 - 0.16)^x = 24000 * (1 - 0.2)^x

(1 - 0.16)^x / (1 - 0.2)^x = 24000 / 20000

(21/20)^x = 6/5

x = LN(6/5) / LN(21/20) = 3.737

Comments

Muss man nicht eigentlich den Logarithmus verwenden?

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Hab ich doch in der letzten Zeile gemacht.

Answer 2

Hallo Sarah,

Wie lauten die Gleichungen der Abnahmefunktionen f ung g, die den Wert der Autos darstellen?
Welchen Wert haben die Autos nach 10 Jahren?

n in Jahren

16% Abnahme →  84 %  vorhanden  →  Multiplizieren mit 0,84:

f(n) = 20000 * 0,84ⁿ    →   f(10)  ≈  3498.02  [€]

analog:

g(n) = 24000  0,8ⁿ       →   g(10)  ≈ 2576.98  [€]

Wann sind sie etwa gleich viel wert?

f(n)  =  g(n)  

24000·0,8^n = 20000·0,84^n    | : 20000   | : 0,8^n 

1,2 = 0,84ⁿ / 0,8ⁿ

Potenzgesetz: aⁿ / bⁿ  = (a/b)ⁿ anwenden:

1,2 = (0,84/0,8)^n    | ln(...)

ln(1,2) = ln(1,05ⁿ)

Logarithmensatz  ln(a^r) = r · ln(a)  anwenden und durch ln(1,05) dividieren:

n =  ln(1,2) / ln(1,05)  ≈ 3.74  [Jahre]

Gruß Wolfgang